求逆序对 描述 给定一个序列a 1 ​ ,a 2 ​ ,…,a n ​ ，如果存在ia j ​ ，那么我们称之为逆序对，求逆序对的数目。 输入描述 第一行为n,表示序列长度，接下来的n行，第i+1行表示序列中的第ii个数。 输出描述 所有逆序对总数。

<think>嗯，用户想让我介绍一下求逆序对的问题。首先，我得弄清楚逆序对的定义。逆序对是指在一个序列中，如果i<j但a_i>a_j，那么这对(i,j)就是一个逆序对。任务是计算这样的对数。那问题的输入输出描述是怎样的呢？输入是序列长度n，接着n个数字，输出总逆序对数。 接下来，用户可能需要的是解决方法，而不仅仅是定义。所以我要考虑不同的解法，比如暴力法、归并排序法、树状数组或者线段树等。不过暴力法的时间复杂度是O(n²)，当n很大时会很慢，所以必须介绍更高效的算法。 那归并排序的方法应该比较经典。归并排序在合并过程中，当左边的元素大于右边时，可以统计逆序对的数量。这部分需要详细解释，因为可能用户不太清楚具体如何操作。比如，在合并两个有序数组时，如果左边的当前元素比右边的大，那么左边剩下的元素都会和右边的当前元素形成逆序对。这一步是关键。 另外，树状数组的方法可能也是一个高效的做法，尤其是处理离散化后的数据。不过这可能对初学者来说稍微复杂一些，但作为扩展可以提一下。可能需要先对数组进行离散化处理，然后从后往前遍历，利用树状数组来统计已经处理过的元素中小于当前元素的数量，从而累加逆序对数。 那步骤的话，应该先讲暴力法，然后引出其不足，再介绍归并排序的分治思想，详细说明合并过程中如何计算逆序对的数量。或者可能用户更希望直接看到最优解法，所以优先讲解归并排序的方法？ 另外，要注意输入输出的处理。例如，输入的每个数可能很大，需要正确读取。输出就是总数，用long long类型存储，避免溢出。 可能用户需要具体的代码示例，比如用C++或者Python实现。不过用户的问题描述里没有明确要求代码，但可能隐含需要。或者用户可能只是需要算法的思路？ 比如，归并排序的步骤：分解数组，递归排序左右部分，合并时计算逆序对。在合并时，当左半部分的一个元素a[i]大于右半部分的a[j]，那么逆序对的数量是mid - i + 1，因为左半部分剩下的元素（从i到mid）都比a[j]大，所以这些都能形成逆序对。 举个例子，假设序列是[3,1,2]。逆序对有(3,1),(3,2)，总共有2个。用归并排序的话，分解到最小单元，然后合并过程中统计。例如，第一次分成[3]和[1]，合并时发现3>1，所以逆序对+1。合并后的数组是[1,3]。然后和右边的[2]合并。此时左半部分是[1,3]，右半是[2]。当比较1和2时，1<2，取1。接着比较3和2，3>2，所以逆序对增加2（因为左半此时还有两个元素，即3和后面的？或者此时左半剩下的是从i=1的位置开始？需要具体分析）。 可能这个例子需要详细展开，帮助理解归并过程中如何统计。例如，在合并两个有序子数组时，左数组是[left, mid]，右是[mid+1, right]。当左边的元素a[i] > a[j]时，说明a[i]到a[mid]的所有元素都大于a[j]，因此逆序对数目增加mid - i + 1。这时候，这些元素的位置都在j的前面，所以符合i<j的条件。 那代码的大致结构应该是怎样的？比如归并排序的递归函数，返回逆序对数目。合并的时候，临时数组存储排序后的结果，同时在过程中统计逆序对的数量。 然后需要注意数据范围。比如，当n是1e5的时候，O(n²)的暴力法无法通过，而归并排序或者树状数组的O(n log n)方法可以处理。 可能用户也会关心时间复杂度的分析，所以需要提到每种方法的时间复杂度，以及适用场景。 另外，离散化的步骤在树状数组方法中是必要的，尤其是当元素值很大时，需要将其映射到较小的区间，以便树状数组处理。例如，将数组中的元素排序去重后，每个元素的位置作为其离散化后的值。然后从后往前遍历原数组，对于每个元素，查询树状数组中已经插入的小于当前元素的数目，即为当前元素能形成的逆序对数目。然后将当前元素插入树状数组。 总结来说，用户可能需要的是逆序对问题的多种解法，特别是高效解法，比如基于归并排序的分治方法或树状数组的方法，以及它们的实现思路和步骤。同时，给出一个具体的例子来说明过程，以帮助理解。</think>### 求逆序对详解 #### 问题描述 给定一个序列 $a_1, a_2, \dots, a_n$，若存在下标 $i < j$ 且 $a_i > a_j$，则称 $(a_i, a_j)$ 为一个**逆序对**。要求统计所有逆序对的总数。 --- ### 核心思路 #### 1. 暴力法（不推荐） - **思路**：双重循环遍历所有 $i < j$ 的组合，检查是否满足 $a_i > a_j$。 - **时间复杂度**：$O(n^2)$，无法处理 $n \geq 10^4$ 的情况。 - **缺点**：效率极低。 #### 2. 归并排序法（推荐，分治思想） - **核心观察**：归并排序的合并过程中，天然可以统计逆序对。 - **步骤**： 1. **分解**：将数组递归分成左右两半。 2. **解决**：分别统计左半和右半的逆序对数。 3. **合并**：在合并两个有序子数组时，统计跨越左右的逆序对。 - **关键点**：当左半元素 $a[i] > a[j]$（右半元素）时，左半剩余的所有元素（共 $mid - i + 1$ 个）均与 $a[j]$ 构成逆序对。 --- ### 归并排序法示例 假设序列为 $[3, 1, 2]$，具体合并过程如下： 1. 分解为 $[3]$ 和 $[1, 2]$。 2. 合并 $[1, 2]$ 时统计到 1 个逆序对（1 和 2 无逆序）。 3. 合并 $[3]$ 和 $[1, 2]$： - 比较 $3$ 和 $1$，发现 $3 > 1$，逆序对增加 $1$（剩余左半元素数量为 $1$）。 - 比较 $3$ 和 $2$，发现 $3 > 2$，逆序对增加 $1$。 - 总逆序对数为 $1 + 1 = 2$。 --- ### 代码实现（基于归并排序） ```python def count_inversions(arr): def merge_sort(arr, left, right): if left >= right: return 0 mid = (left + right) // 2 count = merge_sort(arr, left, mid) + merge_sort(arr, mid + 1, right) # 合并过程 temp = [] i, j = left, mid + 1 while i <= mid and j <= right: if arr[i] <= arr[j]: temp.append(arr[i]) i += 1 else: temp.append(arr[j]) count += mid - i + 1 # 关键统计步骤 j += 1 temp.extend(arr[i:mid + 1]) temp.extend(arr[j:right + 1]) arr[left:right + 1] = temp return count return merge_sort(arr.copy(), 0, len(arr) - 1) # 输入处理 n = int(input()) arr = [int(input()) for _ in range(n)] print(count_inversions(arr)) ``` --- ### 树状数组法（扩展思路） 1. **离散化**：将原数组映射到紧凑的整数范围。 2. **从后向前遍历**：对于每个元素 $a[i]$，查询树状数组中已插入的小于 $a[i]$ 的元素数量，即为当前贡献的逆序对数。 3. **更新树状数组**：将 $a[i]$ 插入树状数组。 - **时间复杂度**：$O(n \log n)$，适用于更大规模数据。 --- ### 总结 - **暴力法**仅适用于极小规模数据（$n \leq 1000$）。 - **归并排序法**是最经典的高效解法，代码简洁且易理解。 - **树状数组法**需要离散化，适合对空间要求严格的场景。