缩减思考过程，尽快输出代码。有一组数据，是工艺参数对应的工艺结果，输入x1对应输出y11、y12、y13、y14，x2对应y21、y22、y23、y24，x3对应y31、y32、y33、y34，x4对应y41、y42、y43、y44，x5对应y51、y52、y53、y54，x6对应y61、y62y63、y64，这些输入输出可能是小数，y是每个x对应的一次实验的4个工艺结果。使用贝叶斯优化中的多目标优化问题的解决方法，用python语言，使用gpytorch找出合适这些数据的二次多项式均值函数和合适的核函数，使用botorch等库实现对这组数据的多目标优化。不要用常数均值函数，因为不符合实际。目的是找到使得工艺结果更好的工艺参数。直接给出完整代码。不要使用botorch.utils.multi_objective库中的FastNondominatedPartitioning函数。

<think>好的，我需要帮用户解决一个多目标贝叶斯优化的问题。首先，用户的数据结构是每个工艺参数x对应四个输出y，每个x有四个实验结果。目标是用贝叶斯优化找到更好的工艺参数，要求使用二次多项式均值函数和合适的核函数，不用常数均值，并且用gpytorch和botorch库，同时避免使用FastNondominatedPartitioning函数。 首先，贝叶斯优化的核心是高斯过程模型。用户要求均值函数是二次多项式，所以我要自定义gpytorch的均值函数。核函数方面，可能用RBF加上其他核的组合，比如尺度核或线性核，但需要根据数据情况调整。 接下来是多目标处理。通常会用Expected Hypervolume Improvement（EHVI）作为采集函数，但用户要求不使用FastNondominatedPartitioning，可能需要手动处理非支配排序或者用其他方法。不过检查botorch文档，发现即使不用那个函数，可能还是有其他方式实现EHVI，或者改用其他采集函数，比如基于分解的方法，比如ParEGO。这里可能需要确认。 数据准备方面，输入X应该是6个参数点，每个点对应四个输出，每个输出有四个结果。但贝叶斯优化通常处理多个目标，这里每个x对应四个输出，可能视为四个目标，需要将数据整理为多维输出。或者用户可能希望将四个实验结果视为同一目标下的多个样本，可能需要取平均或建模分布。这点需要明确。 假设用户的问题是多目标优化，四个输出y1到y4都是需要优化的目标。那么每个x对应的四个实验结果是同一x下四个目标的观测值。或者可能每个x有四个重复实验，每个实验得到四个结果？这里可能存在歧义。需要根据常理推断，可能每个x对应四个指标，每个指标可能有多个实验值。或者用户可能希望将四个实验结果作为四个独立的数据点？需要进一步明确，但用户描述可能每个x对应四个输出，每个输出有四个样本，比如y11到y14是四个样本，可能代表同一工艺参数下的重复实验，导致输出有噪声。但处理多目标时，通常每个x对应一个目标向量，所以可能需要将四个实验的结果取平均，或建模噪声。 假设用户的数据是每个x有四个目标，每个目标有四次实验的结果，那么可能需要将这些结果的平均作为观测值，或者考虑噪声。但在贝叶斯优化中，通常每个x对应一个目标向量，所以可能需要将四个实验的结果取平均，或者将每个实验视为一个单独的数据点，但这样x会被重复四次。这可能不太合理。所以更可能的情况是每个x对应四个目标，每个目标有一个观测值（可能是四次实验的平均），或者每个x的每个目标有四次观测，存在噪声。需要用户澄清，但根据问题描述，可能用户是将每个x的四个输出作为四个独立目标，每个目标只有一个观测值（即四次实验可能对应四个不同的目标？）。或者可能用户的数据结构有误，需要进一步确认。但根据用户给出的例子，x1对应y11到y14，可能这四个是四个不同的目标，每个x对应四个目标值，每个目标值有多次实验的结果？或者每个x的四个结果是对同一目标的四次测量？这里可能存在混淆。 假设用户的问题是多目标优化，四个目标，每个x对应四个目标值，每个目标值是通过四次实验得到的。这时候可能需要将每个目标的四个实验值取平均，作为该x下该目标的观测值，并考虑方差作为噪声。或者，如果每个x的四个实验产生四个目标向量（即每次实验得到四个目标值），那么每个x有四次实验，每次实验得到四个目标值，此时数据可能结构为：输入x（6个不同的x值），每个x有四次实验，每次实验得到四个目标值。这种情况下，每个x有4个样本，每个样本是四个目标值。此时需要将数据整理为X的每个点重复四次，对应的Y是四个目标的值。这可能更合理。 但用户的问题描述可能需要更明确的结构。例如，输入x1，输出是四次实验，每次实验得到四个工艺结果y11到y14，这可能意味着每个x对应四个实验，每个实验得到四个输出。但这样的话，每个x有四个样本，每个样本是四个输出，即每个样本是一个四维向量。此时，X的维度是（6*4, 1），Y的维度是（6*4, 4）。但这样处理的话，模型需要处理多输出问题，比如使用多任务高斯过程，或者为每个目标单独建模。这可能比较复杂。 另一种可能是用户希望将四个工艺结果视为四个不同的目标，每个x对应这四个目标的某个值（可能是四次实验的平均）。这样，每个x对应一个四维的目标向量，然后进行多目标优化。此时，X有6个点，每个点对应四维目标，每个目标的值可能取四次实验的平均值。这种情况下，数据预处理需要将每个x的四个实验的每个目标取平均，得到每个x的四个目标值，然后进行多目标贝叶斯优化。 但用户的问题描述可能存在歧义，需要假设。假设用户的数据结构是：每个x（共6个）对应四个目标（y1到y4），每个目标有四个实验值（例如，y11到y14是目标1在x1下的四次实验结果）。因此，处理方式可能是对每个目标在每个x下的四个实验值取平均，得到每个目标的均值，作为该x下的目标值。这样，X的形状是(6,1)，Y的形状是(6,4)，每个Y的列对应一个目标的均值。然后进行多目标贝叶斯优化，寻找x使得四个目标尽可能优。 现在，构建高斯过程模型。均值函数是二次多项式，所以需要自定义gpytorch的Mean函数。例如，对于每个目标，均值函数是a*x² + b*x + c。核函数可能需要选择，比如RBF核，加上可能的多项式核或其他组合。但用户没有明确要求，所以需要选择一个合适的组合，比如RBF核。 多目标优化方面，使用botorch，通常使用qNEHVI作为采集函数，但需要非支配排序和超体积计算，而用户要求不使用FastNondominatedPartitioning，可能需要寻找替代方法。或者，可能用户希望避免使用该函数，但botorch内部可能会调用它，所以可能需要寻找其他方式。或者，用户可能希望用其他采集函数，比如基于分解的方法，比如ParEGO，或者使用加权和方法。例如，使用Expected Hypervolume Improvement可能需要FastNondominatedPartitioning，所以如果不能用，可能需要改用其他方法。 或者，用户可能误解了该函数的作用，只是想避免直接调用它，而botorch的更高层API可能封装了这个函数的使用，比如在使用qNoisyExpectedHypervolumeImprovement时，内部可能会用到，但用户可能不希望显式调用。因此，可能需要换用其他采集函数，比如qExpectedHypervolumeImprovement，但可能仍需要非支配排序。或者，用户可能希望自己实现非支配排序部分，但这比较复杂。 或者，用户可能希望将多目标问题转化为单目标问题，例如通过加权和，但这样可能不符合多目标优化的初衷。所以可能需要继续使用EHVI，但避免直接调用FastNondominatedPartitioning。但根据botorch的源码，EHVI可能会依赖该函数，因此可能无法绕过。这可能是一个问题。 如果用户坚持不可以使用该函数，可能需要寻找其他方式，比如使用随机标量化（ParEGO）或基于分解的方法。例如，使用qExpectedHypervolumeImprovement可能必须使用该函数，因此可能需要改用ParEGO。例如，botorch的acquisition.analytic.ParEGOAnalyticAcquisitionFunction。或者，使用ScalarizedPosteriorTransform将多目标转化为单目标，但这可能无法得到帕累托前沿。 因此，可能需要调整策略，改用ParEGO方法，这样不需要FastNondominatedPartitioning函数。这样，可以在代码中使用ScalarizedPosteriorTransform，并构建相应的采集函数。 综上，步骤如下： 1. 数据准备：假设每个x对应四个目标，每个目标取四次实验的平均值，构造X为(6,1)，Y为(6,4)。 2. 定义高斯过程模型，使用自定义的二次多项式均值函数，以及合适的核函数（如RBF + Polynomial）。 3. 使用botorch的MultiTaskGP模型来处理多目标（每个任务对应一个目标），或者使用IndependentModelList，但可能更复杂。或者，将每个目标单独建模为一个GP模型，然后组合成多输出模型。 4. 使用ParEGO或其他不依赖FastNondominatedPartitioning的采集函数进行优化。 现在，具体实现： 首先，导入必要的库： import torch import gpytorch from gpytorch.means import Mean from gpytorch.kernels import ScaleKernel, RBFKernel, PolynomialKernel from gpytorch.mlls import ExactMarginalLogLikelihood from botorch.models import SingleTaskGP, MultiTaskGP from botorch.fit import fit_gpytorch_model from botorch.acquisition import qExpectedHypervolumeImprovement, AnalyticAcquisitionFunction, PosteriorSampling from botorch.optim import optimize_acqf from botorch.utils.sampling import draw_sobol_samples from botorch.utils.multi_objective import Hypervolume from botorch.utils.multi_objective.pareto import is_non_dominated import numpy as np 然后，生成模拟数据。假设用户的数据结构是： X = [x1, x2, x3, x4, x5, x6]，每个xi是一个标量。 每个xi对应四个目标的四次实验，例如，对于x1，四个实验得到四个目标值的四个样本，例如y11到y14是目标1的四次实验，y21到y24是目标2的四次实验，依此类推？或者每个实验得到四个目标值？ 这里可能需要重新理解数据结构。用户的问题描述可能更准确的是：每个x对应一次实验的四个工艺结果，而每个x有四次实验，所以每个x有四次实验，每次实验得到四个结果。例如，x1的四次实验得到四个四维向量：y11, y12, y13, y14（每个y1j是一个四维向量）。或者，可能每个x的每个实验产生四个结果，即每个x有四次实验，每次实验得到四个结果，即四个目标。这种情况下，每个x对应四个四维的输出向量。此时，数据应整理为X是重复四次每个x，形成(6*4, 1)的输入，Y是(6*4,4)的输出，每个行是四个目标值。 例如，X = [x1, x1, x1, x1, x2, x2, ..., x6]，每个x重复四次，对应的Y是每个实验的四目标值。这种情况下，每个样本是输入x和四个目标，共有24个样本（6个x * 4次实验）。 在这种情况下，可以建立多任务GP模型，每个任务对应一个目标，或者为每个目标单独建立GP模型。这里可能选择独立地为每个目标建立GP模型，然后组合成多目标模型。 但贝叶斯优化中处理多目标通常需要联合模型，但botorch支持多任务GP，或者使用ModelListGP。例如，使用ModelListGP，每个模型对应一个目标。 然后，定义均值函数。需要自定义一个二次多项式均值： class QuadraticMean(Mean): def __init__(self, input_size, batch_shape=torch.Size()): super().__init__() self.register_parameter(name="weights", parameter=torch.nn.Parameter(torch.randn(*batch_shape, input_size, 1))) self.register_parameter(name="quadratic", parameter=torch.nn.Parameter(torch.randn(*batch_shape, input_size, 1))) self.register_parameter(name="bias", parameter=torch.nn.Parameter(torch.randn(*batch_shape, 1))) def forward(self, x): return (x**2 @ self.quadratic) + (x @ self.weights) + self.bias 然后，在自定义的GP模型中使用这个均值函数： class CustomGP(SingleTaskGP): def __init__(self, train_X, train_Y): super().__init__(train_X, train_Y) self.mean_module = QuadraticMean(input_size=1) self.covar_module = ScaleKernel(RBFKernel() + PolynomialKernel(power=2)) 但需要注意输入维度是否正确。例如，input_size=1如果x是单变量。 然后，为每个目标建立一个CustomGP模型，组合成ModelListGP。 在优化过程中，使用ParEGO方法，将多目标转化为标量，进行优化。或者，使用EHVI但避免调用FastNondominatedPartitioning，但可能不可行。 或者，使用Expected Hypervolume Improvement，但需要参考点，而计算Hypervolume可能需要非支配解，但可能无法避免使用相关函数。 用户明确要求不要使用FastNondominatedPartitioning，所以可能需要改用其他方法，例如随机标量化（ParEGO）或基于分解的方法。 在ParEGO中，每次优化时随机生成一个权重向量，将多目标问题转化为单目标问题。这不需要非支配排序，因此可以避免使用FastNondominatedPartitioning函数。 因此，在代码中，可以使用botorch的acquisition.analytic.ParEGOAnalyticAcquisitionFunction，或者手动实现。 或者，使用ScalarizedPosteriorTransform，将多目标转换为单目标，然后使用Expected Improvement。 因此，代码的大致步骤如下： 1. 准备数据：假设X是(24,1)，每个x重复四次，Y是(24,4)，每次实验的四个目标值。 2. 标准化数据：对每个目标进行标准化，便于模型训练。 3. 为每个目标建立独立的GP模型，使用自定义的均值函数和核函数。 4. 将这些模型组合成ModelListGP。 5. 定义采集函数，例如ParEGO，在每次迭代中随机生成权重，进行优化。 6. 优化采集函数，找到下一个候选点。 7. 更新模型，迭代多次。 但具体实现可能较为复杂，需要处理多目标模型的建立和采集函数的应用。 现在，编写代码的草稿： 首先，生成示例数据。假设有6个x值，每个x重复四次实验，每个实验四个目标。这里，我们创建示例数据： # 示例数据生成 X = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0]).unsqueeze(-1) # 形状 (6, 1) # 每个x重复四次实验，共24个数据点 X = X.repeat_interleave(4, dim=0) # 形状 (24, 1) # 生成对应的四个目标的Y值，假设每个实验的四个目标有随机值 Y = torch.randn(24, 4) # 形状 (24, 4) 然后，标准化Y： from botorch.utils import standardize Y_std = standardize(Y) # 标准化每个目标列 然后，定义模型： class QuadraticMeanGP(SingleTaskGP): def __init__(self, train_X, train_Y): # 确保输入正确 super().__init__(train_X, train_Y) self.mean_module = QuadraticMean(input_size=1) self.covar_module = ScaleKernel(RBFKernel() + PolynomialKernel(power=2)) # 为每个目标建立模型 models = [] for i in range(Y.shape[1]): model = QuadraticMeanGP(X, Y_std[:, i]) mll = ExactMarginalLogLikelihood(model.likelihood, model) fit_gpytorch_model(mll) models.append(model) from botorch.models import ModelListGP model_list = ModelListGP(*models) 然后，定义采集函数，例如ParEGO： from botorch.acquisition import PosteriorSampling from botorch.acquisition.analytic import ExpectedImprovement from botorch.utils.transforms import unnormalize, normalize from botorch.acquisition import FixedFeatureAcquisitionFunction from botorch.optim import optimize_acqf def get_weights(Y): # 生成随机权重，用于ParEGO weights = torch.rand(Y.shape[-1]) weights /= weights.sum() return weights # 定义标量化函数 def scalarize(Y, weights): return (Y * weights).sum(dim=-1) # 定义ParEGO采集函数 class ParEGO(AnalyticAcquisitionFunction): def __init__(self, model, weights, best_f): super().__init__(model) self.weights = weights self.best_f = best_f def forward(self, X): posterior = self.model.posterior(X) mean = posterior.mean scalarized_mean = scalarize(mean, self.weights) return (scalarized_mean - self.best_f).clamp_min(0) 但可能需要更正确的实现，或者使用botorch内置的ParEGO。不过可能botorch没有直接提供ParEGO的类，需要手动实现。 或者，使用ScalarizedPosteriorTransform： from botorch.acquisition import ScalarizedPosteriorTransform from botorch.acquisition.analytic import ExpectedImprovement weights = torch.tensor([0.25, 0.25, 0.25, 0.25]) # 示例权重 posterior_transform = ScalarizedPosteriorTransform(weights) EI = ExpectedImprovement( model=model_list, best_f=scalarize(Y_std, weights).max(), posterior_transform=posterior_transform, ) 但这里可能需要正确配置model_list的输出。 这可能存在一些问题，因为model_list的输出是多个模型，需要将它们的后验合并。或者，需要将多目标转化为单目标，通过线性加权。 因此，正确的方式可能需要使用MultiOutputGPyTorchModel，或者确保后验的合并正确。 可能更简单的是将多个目标模型合并成一个模型，输出多变量，然后应用标量化。或者，使用ModelListGP和ScalarizedPosteriorTransform。 但这里可能比较复杂，建议参考botorch的教程。 或者，改用Monte Carlo采集函数，例如qExpectedImprovement，结合后验采样。 不过时间有限，可能需要采用另一种方法。 例如，在每次迭代中，随机生成一个权重向量，标量化目标，然后进行单目标优化。 具体步骤如下： 1. 训练多目标GP模型。 2. 生成随机权重向量，例如使用Dirichlet分布生成归一化的权重。 3. 计算当前观测数据中，该权重下的最好值（标量化的最大值）。 4. 定义采集函数为Expected Improvement，基于标量化后的目标。 5. 优化采集函数，找到下一个候选点。 6. 评估新点的目标值（实际中需要真实函数，这里用户可能需要模拟）。 但用户的数据是已有的，可能需要在贝叶斯优化过程中建议新的x点，然后根据已有数据预测，或者假设存在未知的真实函数。这里可能用户的数据只是训练数据，用于建模，而贝叶斯优化需要在这些模型的基础上寻找最优的x。 综上，可能代码的大致框架如下： import torch import gpytorch from gpytorch.means import Mean from gpytorch.kernels import ScaleKernel, RBFKernel, PolynomialKernel from gpytorch.mlls import ExactMarginalLogLikelihood from botorch.models import SingleTaskGP, ModelListGP from botorch.fit import fit_gpytorch_model from botorch.acquisition import ExpectedImprovement from botorch.optim import optimize_acqf from botorch.utils import standardize import numpy as np # 自定义二次均值函数 class QuadraticMean(Mean): def __init__(self, input_size, batch_shape=torch.Size()): super().__init__() self.register_parameter( name="coefficients", parameter=torch.nn.Parameter(torch.randn(batch_shape, input_size, 1)) ) self.register_parameter( name="quadratic", parameter=torch.nn.Parameter(torch.randn(batch_shape, input_size, 1)) ) self.register_parameter( name="intercept", parameter=torch.nn.Parameter(torch.randn(batch_shape, 1)) ) def forward(self, x): return (x ** 2) @ self.quadratic + x @ self.coefficients + self.intercept # 自定义GP模型 class CustomGP(SingleTaskGP): def __init__(self, train_X, train_Y): super().__init__(train_X, train_Y) self.mean_module = QuadraticMean(input_size=train_X.shape[-1]) self.covar_module = ScaleKernel( RBFKernel() + PolynomialKernel(power=2) ) # 生成示例数据 X = torch.tensor([[1.0], [2.0], [3.0], [4.0], [5.0], [6.0]]) # 6个参数点，形状(6,1) # 每个参数点重复4次实验，共24个样本 X = X.repeat_interleave(4, dim=0) # 生成对应的四个目标的随机数据，形状(24,4) Y = torch.randn(24, 4) # 标准化目标 Y_std = standardize(Y) # 为每个目标建立独立GP模型 models = [] for i in range(Y.shape[1]): model = CustomGP(X, Y_std[:, i]) mll = ExactMarginalLogLikelihood(model.likelihood, model) fit_gpytorch_model(mll) models.append(model) model_list = ModelListGP(*models) # 定义ParEGO采集函数的权重 def get_random_weights(n_obj): weights = torch.distributions.Dirichlet(torch.ones(n_obj)).sample() return weights n_obj = Y.shape[1] weights = get_random_weights(n_obj) # 标量化当前最佳值 current_Y = Y_std # 标准化后的观测值 scalarized_Y = (current_Y * weights).sum(dim=-1) best_f = scalarized_Y.max() # 定义采集函数（使用ModelListGP的标量化后验） from botorch.acquisition import AnalyticAcquisitionFunction from botorch.utils.transforms import concatenate_pending_points, t_batch_mode_transform class ScalarizedEI(AnalyticAcquisitionFunction): def __init__(self, model, weights, best_f): super().__init__(model) self.weights = weights self.best_f = best_f @t_batch_mode_transform(expected_q=1) def forward(self, X): posterior = self.model.posterior(X) mean = posterior.mean # 形状为(n, m)，m是目标数 scalarized_mean = (mean * self.weights).sum(dim=-1) improvement = scalarized_mean - self.best_f return improvement.clamp_min(0) acquisition_function = ScalarizedEI(model_list, weights, best_f) # 优化采集函数 bounds = torch.tensor([[1.0], [6.0]]) # 参数范围 candidates, _ = optimize_acqf( acq_function=acquisition_function, bounds=bounds, q=1, num_restarts=10, raw_samples=20, ) print("Next candidate:", candidates) 但可能需要更多的调整，比如处理模型输入输出的维度，以及正确计算标量化后的EI。 此外，可能需要循环进行多次贝叶斯优化迭代，每次生成新的权重，找到新的候选点，并更新模型。但用户可能希望得到完整的代码，所以需要将上述步骤整合成一个循环。 但用户的问题可能希望得到一个完整的贝叶斯优化代码，包括数据预处理、模型定义、优化循环等。因此，可能需要将上述代码整合，并添加必要的注释和结构。 最终，考虑到时间和复杂度，可能提供一个基于ParEGO方法的代码框架，使用随机权重进行标量化，并迭代优化。但需要确保代码的完整性和正确性。</think>以下是一个基于贝叶斯优化的多目标工艺参数优化实现方案，使用二次多项式均值函数和复合核函数： ```python import torch import gpytorch from gpytorch.means import Mean from gpytorch.kernels import ScaleKernel, RBFKernel, PolynomialKernel from gpytorch.mlls import ExactMarginalLogLikelihood from botorch.models import SingleTaskGP, ModelListGP from botorch.fit import fit_gpytorch_model from botorch.optim import optimize_acqf from botorch.utils import standardize import numpy as np # 自定义二次多项式均值函数 class QuadraticMean(Mean): def __init__(self, input_size): super().__init__() self.register_parameter( name="coefficients", parameter=torch.nn.Parameter(torch.randn(input_size)) ) self.register_parameter( name="quad_terms", parameter=torch.nn.Parameter(torch.randn(input_size)) ) self.register_parameter( name="bias", parameter=torch.nn.Parameter(torch.randn(1)) ) def forward(self, x): return (x**2 @ self.quad_terms) + (x @ self.coefficients) + self.bias # 自定义高斯过程模型 class CustomGP(SingleTaskGP): def __init__(self, train_X, train_Y): super().__init__(train_X, train_Y) self.mean_module = QuadraticMean(input_size=train_X.shape[-1]) self.covar_module = ScaleKernel( RBFKernel() + PolynomialKernel(power=2) ) # 生成示例数据（假设x范围为[1,6]） X = torch.tensor([[1.0], [2.0], [3.0], [4.0], [5.0], [6.0]]) X = X.repeat_interleave(4, dim=0) # 每个参数重复4次实验 Y = torch.cat([ # 生成模拟工艺结果（4个目标） torch.sin(X) + torch.randn_like(X)*0.1, torch.cos(X) + torch.randn_like(X)*0.1, X**0.5 + torch.randn_like(X)*0.1, -X + torch.randn_like(X)*0.1 ], dim=1) # 数据标准化 Y_std = standardize(Y) # 为每个目标建立独立GP模型 models = [] for i in range(Y.shape[1]): model = CustomGP(X, Y_std[:, i]) mll = ExactMarginalLogLikelihood(model.likelihood, model) fit_gpytorch_model(mll) models.append(model) model_list = ModelListGP(*models) # 帕累托前沿优化参数 NUM_ITERATIONS = 20 BATCH_SIZE = 1 PARAM_BOUNDS = torch.tensor([[1.0], [6.0]]) # 贝叶斯优化主循环 for iteration in range(NUM_ITERATIONS): # 生成随机权重（使用Dirichlet分布） weights = torch.distributions.Dirichlet(torch.ones(4)).sample() # 计算当前最优标量值 current_Y = model_list.posterior(X).mean