用python利用递归结构定义一个对正整数n求阶乘的函数Fact(n)，利用函数Fact(n)+算并输出工1 +21 +..+101

可以使用递归函数来求解正整数n的阶乘，代码如下： ```python def fact(n): if n == 1: return 1 else: return n * fact(n-1) ``` 其中，当n等于1时，直接返回1，否则递归调用函数fact(n-1)来求解n-1的阶乘，并将其乘以n，即可得到n的阶乘。 使用这个函数来求解一个正整数n的阶乘可以这样调用： ```python n = 5 result = fact(n) print(result) # 输出 120 ``` 这里以求解5的阶乘为例，调用fact(5)即可得到120。

<think>嗯，用户让我写一个Python函数叫做fact_sum(n)，这个函数接受一个正整数n，然后计算从1到n所有整数的阶乘之和。还要求定义一个辅助函数fact(m)来计算阶乘，然后在fact_sum里调用这个辅助函数求和。首先，我得确认阶乘的定义，就是m!等于m乘以m-1一直到1。那辅助函数fact(m)应该怎么实现呢？ 首先，辅助函数fact(m)。我需要考虑m的值，如果m是0或者1的话，阶乘是1。那这个函数可以用递归或者循环来实现。不过递归的话，如果m很大可能会有栈溢出的问题，不过题目里并没有说明n的范围，可能暂时用循环更稳妥一些。比如，初始化一个结果变量为1，然后从1循环到m，每次乘到结果上。这样应该没问题。 然后，fact_sum(n)需要计算1到n每个数的阶乘之和。也就是说，循环从1到n，每次调用fact(i)，然后把这些结果加起来。比如，当n=3的时候，1! + 2! +3! =1+2+6=9。这样是否正确？ 测试一下例子，假设n=1，应该返回1；n=3返回9，这应该是对的。那函数的逻辑应该是正确的。那现在要写两个函数，一个fact，一个fact_sum。 注意，用户要求辅助函数叫做fact(m)，所以必须按照这个命名。然后，在fact_sum里调用这个函数。可能需要注意输入n是正整数，所以是否需要处理输入验证？题目中可能不需要，因为用户要求函数接收正整数n，所以可以假设调用时传入的是正确的参数。这样代码可以更简洁。 然后，编写代码的时候，结构应该是先定义fact(m)，然后在fact_sum(n)里循环求和。比如： def fact(m): result = 1 for i in range(1, m+1): result *= i return result def fact_sum(n): total =0 for i in range(1, n+1): total += fact(i) return total 这样应该可以。那测试几个例子看看是否正确。比如n=3，计算i=1时fact(1)=1，i=2时fact(2)=2，i=3时fact(3)=6，总和是9。对的。那这个代码应该没问题。 有没有可能优化呢？比如，每次计算fact(i)的时候，其实可以复用之前的计算结果。比如，计算i的阶乘时，可以用i-1的阶乘结果乘以i。这样的话，可能可以减少重复计算。例如，在fact_sum里，可以维护一个变量current_fact，初始为1，每次循环时current_fact *= i，然后加到总和里。这样可能更高效，特别是当n很大的时候。但是题目要求必须使用辅助函数fact(m)，所以必须每次调用fact来计算每个i的阶乘，不能使用这种优化方法。所以必须按照题目的要求，使用辅助函数。 那这样代码是正确的。不过需要考虑大数的情况吗？比如，当n很大的时候，阶乘增长非常快，Python的整数可以处理很大的数，所以不会有溢出的问题，只是计算时间可能会增加。但题目没有提到性能要求，所以不需要考虑这点。 总结一下，步骤是： 1. 定义辅助函数fact(m)，使用循环计算阶乘。 2. 在fact_sum(n)中，循环1到n，每次调用fact(i)，累加到总和。 3. 返回总和。 这样应该满足用户的所有要求了。</think>让我们分步骤解决这个问题： **步骤1：定义阶乘函数fact(m)** ```python def fact(m): result = 1 for i in range(1, m+1): result *= i return result ``` - 使用循环计算阶乘，时间复杂度为$O(m)$ - 处理输入为0的情况：当m=0时循环不执行，直接返回初始值1，符合$0! = 1$的定义 **步骤2：定义阶乘和函数fact_sum(n)** ```python def fact_sum(n): total = 0 for i in range(1, n+1): total += fact(i) return total ``` - 遍历1到n的每个整数 - 对每个整数i调用fact()函数计算阶乘 - 累加所有阶乘值到总和 **步骤3：测试验证** 测试用例示例： ```python print(fact_sum(1)) # 1! = 1 print(fact_sum(3)) # 1! + 2! + 3! = 1+2+6=9 print(fact_sum(5)) # 1+2+6+24+120=153 ``` **完整代码实现：** ```python def fact(m): result = 1 for i in range(1, m+1): result *= i return result def fact_sum(n): total = 0 for i in range(1, n+1): total += fact(i) return total ``` **时间复杂度分析：** - 总时间复杂度为$O(n^2)$，因为计算每个i!需要i次操作，总操作次数为： $$\sum_{i=1}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2}$$ - 空间复杂度为$O(1)$，只使用固定数量的变量 **算法优化思路：** 虽然当前实现满足题目要求，但可以优化时间复杂度到$O(n)$： ```python def optimized_fact_sum(n): total = 0 current_fact = 1 for i in range(1, n+1): current_fact *= i total += current_fact return total ``` - 通过复用前一次计算的阶乘值 - 但根据题目要求必须使用辅助函数fact()，因此未采用此优化方案