一、问题背景 高等数学应用非常广，计算机的应用让我们能简单快速处理各种高等数学中的计算，比如极限、导数、积分、微分方程等的计算。 二、实验目的 使用 Python 通过计算与作图，加强对极限、导数、积分等概念的理解，并掌握它们计算方法，以及求微分方程和方程组解析解的方法。 三、实验原理与数学模型 （1）函数极限的求解讨论以及两个重要极限的验证。 （2）导数概念和导数的几何意义，以及计算多元函数偏导数。 四、实验题目 （1）考虑函数 y=arctan(1/x) 在 x=0 的左右极限 （2）验证两个重要极限。两个重要极限如下： a.b. (3) 求 的导函数，并作出该函数图形和在 x=-1 处的切线 (4)假设一家公司生产某种产品，其成本函数为C(x)=100x+5000，其中 x 是生产的产品数量，单位成本为100元，固定成本为5000元。产品的售价函数为P(x)=300-0.1x，即每多生产一个产品，售价会下降0.1元。试问公司如何实现最大化利润。 五、实验要求 （1）实验过程(请用简单的文字描述) （2）实验详细操作步骤或程序清单 （3）实验结果(上传实验结果截图或者简单文字描述)（4）疑难小结(总结个人在实验中遇到的问题或者心得体会

### 使用Python实现高等数学中的极限、导数、积分计算与绘图 #### 极限的计算 对于函数 \( y = \arctan\left(\frac{1}{x}\right) \)，可以通过 `sympy` 库来计算其在 \( x = 0 \) 处的左右极限。以下是具体的代码示例： ```python from sympy import symbols, atan, limit, oo x = symbols('x') f = atan(1 / x) # 计算左极限 lim_left = limit(f, x, 0, dir='-') # 左侧接近零 print("Left Limit:", lim_left) # 计算右极限 lim_right = limit(f, x, 0, dir='+') # 右侧接近零 print("Right Limit:", lim_right) ``` 上述代码分别计算了该函数在 \( x = 0 \) 处的左侧和右侧极限[^1]。 --- #### 验证两个重要极限 可以使用类似的 `limit` 函数验证重要的数学极限，例如 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \) 和 \( \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \): ```python from sympy import sin, exp # 验证第一个重要极限 expr1 = sin(x) / x important_limit_1 = limit(expr1, x, 0) print("Important Limit 1:", important_limit_1) # 验证第二个重要极限 expr2 = (1 + 1/x)**x important_limit_2 = limit(expr2, x, oo) print("Important Limit 2:", important_limit_2) ``` 这些代码片段展示了如何通过符号运算工具验证经典的重要极限。 --- #### 绘制某函数及其切线 为了绘制某个函数并显示其特定点上的切线，可结合 `matplotlib` 进行图形化展示。以下是一个例子，假设目标函数为 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，并在 \( x = 1 \) 处找到切线方程： ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from sympy import diff # 定义函数 def func(x): return x**3 - 3*x + 2 # 导数定义 f_prime = lambda x: float(diff(func(x), x).subs({x: x})) # 切线斜率及截距 slope_at_x1 = f_prime(1) # 斜率 intercept = func(1) - slope_at_x1 * 1 # 截距 # 数据范围 x_vals = np.linspace(-2, 2, 400) y_vals = func(x_vals) tangent_line = slope_at_x1 * x_vals + intercept # 绘图 plt.figure(figsize=(8, 6)) plt.plot(x_vals, y_vals, label='Function $f(x)$', color='blue') plt.plot(x_vals, tangent_line, '--', label='Tangent Line at $x=1$', color='red') plt.scatter([1], [func(1)], color='green', zorder=5, label='Point of Tangency $(1,f(1))$') plt.legend() plt.grid(True) plt.title('Graph of Function and Its Tangent Line') plt.xlabel('$x$') plt.ylabel('$f(x)$') plt.show() ``` 此部分实现了对指定位置处切线的精确表示，并将其可视化。 --- #### 求最大利润 如果已知成本函数 \( C(x) \) 和售价函数 \( R(x) \)，则可通过最大化利润函数 \( P(x) = R(x) - C(x) \) 来寻找最优产量水平。下面给出一个通用框架用于解决此类优化问题： ```python from sympy import solve # 假设成本函数C(x)=ax²+bx+c，售价函数R(x)=px-q a, b, c, p, q = 1, -2, 1, 3, 1 cost_function = a*x**2 + b*x + c revenue_function = p*x - q profit_function = revenue_function - cost_function # 对P'(x)求解得到极值点 critical_points = solve(profit_function.diff(x), x) max_profit_point = None for point in critical_points: if profit_function.subs(x, point).is_real: max_profit_point = point break if max_profit_point is not None: print("Optimal Production Level:", max_profit_point) else: print("No valid solution found.") ``` 这里采用了基本的一阶条件法找出可能的最大值点。 ---