旋转卡壳法最小外接矩形

旋转卡壳法是一种计算几何的算法，用于求解平面上点集的最大直径、最远点对、最小包围圆以及最小包围矩形等问题。其中，最小包围矩形也称作最小外接矩形，是指能够包围所有点的面积最小的矩形。在旋转卡壳法中，我们首先找到点集中的最左侧、最右侧、最上方和最下方的点，然后将它们两两配对，形成四条初始的平行于坐标轴的边界线段。接着，我们绕着其中一条边界线段，依次计算所有点到该线段的垂线距离，并记录距离最大的点。然后，我们将该点和该线段的下一个相邻线段配对，形成新的边界线段。如此重复，直到回到起点，此时就可以求得最小包围矩形。需要注意的是，在求解最小包围矩形时，需要考虑点集的凸包。因为凸包上的点可以唯一确定最小包围矩形。如果点集不是凸包，则需要先求出凸包，然后再进行计算。总的来说，旋转卡壳法是一种非常高效的算法，可以在O(n)的时间复杂度内解决最小包围矩形问题。

旋转卡壳法构造外接矩形

旋转卡壳算法是一种高效求解凸包外接矩形的方法，其核心思想是通过不断旋转一对边和对应的顶点来寻找最小面积的矩形。该算法基于一个关键性质：**最小面积外接矩形的一条边一定与凸包的一条边共线**[^1]。 ### 算法原理 1. **计算凸包** 首先使用如Graham扫描或Andrew算法等方法构建输入点集的凸包，得到一组按顺时针或逆时针排列的顶点。 2. **初始化方向向量与边界点对** 对于凸包中的每一条边，将其视为当前“底边”，并找到与之垂直的方向作为旋转轴。在该方向上，确定最远的两个点（即上下边界点）。 3. **旋转与更新** 依次将每条边作为底边进行旋转，在旋转过程中保持与当前边垂直的方向上的最大宽度不变。对于每条边，计算对应的外接矩形面积，并记录最小值。 4. **终止条件** 当所有边都被处理一次后，算法结束，此时记录的最小面积矩形即为所求。 ### 代码示例以下是一个使用 Python 和 `scipy` 库实现旋转卡壳算法构造凸包外接矩形的示例： ```python import numpy as np from scipy.spatial import ConvexHull def min_area_bounding_rectangle(points): hull = ConvexHull(points) vertices = points[hull.vertices] min_area = float('inf') best_rect = None n = len(vertices) j = 1 # 初始化右侧指针 for i in range(n): p1 = vertices[i] p2 = vertices[(i + 1) % n] # 计算当前边的方向向量 edge = p2 - p1 edge_norm = edge / np.linalg.norm(edge) # 找到与当前边垂直的方向 normal = np.array([-edge_norm[1], edge_norm[0]]) # 寻找在垂直方向上最远的点 max_dot = -np.inf min_dot = np.inf max_point = None min_point = None for k in range(n): dot = np.dot(normal, vertices[k]) if dot > max_dot: max_dot = dot max_point = vertices[k] if dot < min_dot: min_dot = dot min_point = vertices[k] # 计算矩形的宽度和高度 width = np.linalg.norm(p2 - p1) height = abs(max_dot - min_dot) area = width * height if area < min_area: min_area = area best_rect = (p1, p2, max_point, min_point) return min_area, best_rect # 示例点集 points = np.random.rand(20, 2) min_area, rect = min_area_bounding_rectangle(points) print(f"Minimum area bounding rectangle: {min_area}") ``` ### 解释说明 - **ConvexHull**：使用 `scipy.spatial.ConvexHull` 构建凸包。 - **方向向量**：通过当前边的单位向量及其垂直向量来定义矩形的方向。 - **投影计算**：通过向量点积计算各点在指定方向上的投影，从而确定矩形的高度。 - **面积比较**：每次迭代中计算当前矩形面积，并更新最小值。 ### 复杂度分析 - 凸包构建的时间复杂度为 $ O(n \log n) $。 - 旋转卡壳部分的时间复杂度为 $ O(n) $，因为每条边只处理一次。 - 总体时间复杂度为 $ O(n \log n) $，适合大规模数据集。 ---

旋转卡壳最小外接矩形 C++代码

以下是旋转卡壳求最小外接矩形的C++代码： ```c++ #include <iostream> #include <algorithm> #include <cmath> using namespace std; const int MAXN = 100005; const double eps = 1e-8; const double pi = acos(-1.0); struct Point { double x, y; Point() {} Point(double x, double y): x(x), y(y) {} }; Point operator + (Point a, Point b) { return Point(a.x + b.x, a.y + b.y); } Point operator - (Point a, Point b) { return Point(a.x - b.x, a.y - b.y); } Point operator * (Point a, double p) { return Point(a.x * p, a.y * p); } Point operator / (Point a, double p) { return Point(a.x / p, a.y / p); } double Dot(Point a, Point b) { return a.x * b.x + a.y * b.y; } double Cross(Point a, Point b) { return a.x * b.y - a.y * b.x; } double Length(Point a) { return sqrt(Dot(a, a)); } double Angle(Point a, Point b) { return acos(Dot(a, b) / Length(a) / Length(b)); } bool cmp(Point a, Point b) { if (a.x != b.x) return a.x < b.x; return a.y < b.y; } int n; Point p[MAXN], ch[MAXN], u[MAXN], v[MAXN]; void Andrew() { sort(p, p + n, cmp); int m = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { while (m > 1 && Cross(ch[m - 1] - ch[m - 2], p[i] - ch[m - 2]) < 0) m--; ch[m++] = p[i]; } int k = m; for (int i = n - 2; i >= 0; i--) { while (m > k && Cross(ch[m - 1] - ch[m - 2], p[i] - ch[m - 2]) < 0) m--; ch[m++] = p[i]; } if (n > 1) m--; ch[m] = ch[0]; } double RotatingCalipers() { double ans = 1e18; int j = 1, k = 1, l = 1; for (int i = 0; i < n; i++) { while (fabs(Cross(ch[i + 1] - ch[i], ch[j + 1] - ch[i])) > fabs(Cross(ch[i + 1] - ch[i], ch[j] - ch[i]))) j = (j + 1) % n; while (fabs(Dot(ch[i + 1] - ch[i], ch[k + 1] - ch[i])) > fabs(Dot(ch[i + 1] - ch[i], ch[k] - ch[i]))) k = (k + 1) % n; if (i == 0) l = k; while (fabs(Dot(ch[i + 1] - ch[i], ch[l + 1] - ch[i])) > fabs(Dot(ch[i + 1] - ch[i], ch[l] - ch[i]))) l = (l + 1) % n; Point u = ch[j] - ch[i], v = ch[k] - ch[i], w = ch[l] - ch[i]; double angle = Angle(u, v); double len = Length(u); double h = fabs(Cross(u, w)) / len; double w1 = len * sin(angle), w2 = sqrt(Length(v) * Length(v) - h * h); ans = min(ans, w1 * w2); } return ans; } int main() { cin >> n; for (int i = 0; i < n; i++) { cin >> p[i].x >> p[i].y; } Andrew(); double ans = RotatingCalipers(); printf("%.2lf\n", ans); return 0; } ``` 其中 `Andrew()` 函数是求凸包的函数，`RotatingCalipers()` 函数是旋转卡壳求最小外接矩形的函数。

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旋转卡壳法 最小外接矩形

旋转卡壳法构造外接矩形

旋转卡壳最小外接矩形 C++代码

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