优先队列式分支限界法求解0-1背包问题

### 使用优先队列式分支限界法求解0-1背包问题 #### 算法概述 优先队列式分支限界法是一种用于解决离散和组合优化问题的有效方法[^1]。该算法利用优先队列为节点分配优先级，从而有效地探索可能的解决方案。 #### 数据结构定义 为了实现此算法，需定义数据结构来表示每个子集树中的结点： ```python import heapq class Node: def __init__(self, level, profit, weight, items): self.level = level # 当前处理到第几个物品 self.profit = profit # 已获得的价值总和 self.weight = weight # 背包当前装载重量 self.items = items[:] # 记录已选入背包的物品列表 def bound(self, n, W, w, p): # 上界函数计算最大可得利润 if (self.weight >= W): return 0 ubound = int(self.profit) j = self.level + 1 totweight = self.weight while ((j < n) and (totweight + w[j] <= W)): totweight += w[j] ubound += p[j] j += 1 k = j if (k < n): ubound += (W - totweight) * p[k] / w[k] return ubound ``` #### 主要逻辑流程 以下是完整的Python代码示例，展示了如何使用优先队列式分支限界法求解0-1背包问题: ```python def knapsack_bb(n, W, weights, profits): pq = [] # 初始化优先队列 v = Node(-1, 0, 0, []) # 创建根节点并初始化参数 maxProfit = 0 # 定义全局变量存储最优解的最大收益 bestItems = [] v.bound = v.bound(n, W, weights, profits) heapq.heappush(pq, (-v.bound, id(v), v)) # 将根节点加入优先队列 while(len(pq) != 0): _,_,v = heapq.heappop(pq) # 取出具有最高上界的活结点作为扩展结点E if (v.level == -1): ulevel = 0 # 如果是第一次迭代，则设置ulevel=0 else: ulevel = v.level + 1 # 否则设置ulevel=v.level+1 if (v.level == n-1): # 判断是否到达叶节点 continue # 若是则跳过本次循环 u = Node(ulevel, v.profit, v.weight, v.items) if(u.weight + weights[u.level]<=W): # 加入左孩子（选择当前物品） u.items.append(True) u.weight+=weights[u.level] u.profit+=profits[u.level] if (u.profit > maxProfit): maxProfit = u.profit # 更新最佳方案记录 bestItems=u.items[:] u.bound = u.bound(n,W,weights,profits) if (u.bound>maxProfit): heapq.heappush(pq, (-u.bound,id(u),u)) uu = Node(ulevel,v.profit,v.weight,u.items) uu.items.append(False) # 不加入右孩子（不选择当前物品） uu.bound = uu.bound(n,W,weights,profits) if (uu.bound>maxProfit): heapq.heappush(pq, (-uu.bound,id(uu),uu)) return maxProfit,bestItems if __name__=="__main__": # 测试用例来自给定输入格式说明[^2] num_items = 10 # 物品数量为10 capacity = 50 # 背包容量为50 item_weights=[2,5,10,5,3,8,7,9,4,6] # 前十个数代表物品重量 item_values =[20,30,35,50,10,40,25,60,15,45] # 后十个数代表对应物品价值 result_profit,result_items=knapsack_bb(num_items,capacity,item_weights,item_values) print(f"Maximum Profit: {result_profit}") print("Selected Items:", end=" ") for i in range(len(result_items)): if result_items[i]: print(i,end=", ") # 输出被选取的项目编号 ``` 上述程序实现了基于优先队列的分支限界法来寻找0-1背包问题的最佳解，并打印出了所得到的最大利益以及具体选择了哪些项。

优先队列式分支限界法求解0-1背包问题时，计算结点上界值所用的算法思想是贪心算法。 具体来说，对于当前结点，首先计算出它能够装入的最大物品价值上界，即将它之后的物品按照单位重量价值从高到低排序，依次装入直到装满或者装不下为止，并计算累计的总价值。如果还有剩余的空间，再按照单位重量价值从高到低的顺序，选择部分物品的分数加入到总价值中，直到装满为止。最终得到的总价值就是该结点的上界。这个算法思想的核心是利用单位重量价值最高的物品优先装入，从而尽可能地提高背包容量的利用效率。