给定一个 N ∗ M N∗M的 01 01矩阵 A A。其中， A [ i ] [ j ] A[i][j] 与 A [ k ] [ l ] A[k][l] 之间的曼哈顿距离定义为 d i s ( A [ i ] [ j ] , A [ k ] [ l ] ) = ∣ i − k ∣ + ∣ j − l ∣ dis(A[i][j],A[k][l])=∣i−k∣+∣j−l∣ 示例： 示例 1： 输入： 3 4 0001 0011 0110 输出： 3 2 1 0 2 1 0 0 1 0 0 1 用c++解决

<think>好的，我现在需要帮助用户解决他们在C++中计算01矩阵每个元素到最近1的曼哈顿距离的问题。首先，我需要理解用户的需求。他们提到了01矩阵，也就是由0和1组成的矩阵，要求计算每个元素到最近的1的曼哈顿距离。曼哈顿距离的计算方式是两点在网格上的绝对轴距总和，比如点(x1,y1)和(x2,y2)的距离是|x1-x2| + |y1-y2|。 接下来，我需要考虑如何高效地解决这个问题。用户提供的引用中有关于曼哈顿距离的C++实现，比如菱形图案的生成，但那个例子是固定中心点的，而这里需要动态找到最近的1。另外，用户之前的问题和回答涉及快速排序、类与对象、数据结构等，但当前问题更偏向图算法或动态规划。 首先，我应该想到可能的解决方案。常见的方法有两种：暴力法和多源BFS。暴力法对于每个0元素，遍历整个矩阵找到最近的1，但这样的时间复杂度是O((mn)^2)，对于大矩阵来说效率很低。多源BFS则更高效，时间复杂度为O(mn)，适合处理大规模数据。用户提供的引用中没有提到BFS，但根据我的知识，多源BFS是解决这类问题的标准方法。 接下来，我需要详细设计多源BFS的实现步骤。首先，初始化一个距离矩阵，所有1的位置距离为0，0的位置设为无穷大。然后将所有1的位置加入队列。接着，进行BFS，每次从队列中取出一个位置，检查其四个方向（上下左右），如果相邻的位置未被访问过且可以更新更小的距离，则更新并将该位置加入队列。这样，队列会按照距离递增的顺序处理每个节点，确保第一次访问时就是最短距离。 然后，我需要考虑C++的具体实现。使用队列结构，比如STL的queue，存储坐标。矩阵可以用二维数组或vector<vector<int>>表示。注意边界条件的处理，比如矩阵的行列范围。初始化时，遍历整个矩阵，找到所有1的位置，并将其加入队列，同时设置距离为0。对于0的位置，初始距离可以设置为一个很大的值，比如INT_MAX。 还需要考虑可能的错误和异常情况，例如空矩阵，或者矩阵中没有1的情况。在这些情况下，可能需要返回特定的结果或错误信息。但根据题目描述，假设矩阵是有效的，并且至少有一个1存在。 然后，测试代码的正确性。例如，给定一个示例矩阵，比如： 0 0 0 0 1 0 0 0 0 处理后应得到： 2 1 2 1 0 1 2 1 2 另一个测试用例可能包含多个1，确保算法能正确处理多个源头的情况。 用户提供的引用中，引用[2]提到了曼哈顿距离的Python实现，但这里是C++，需要转换。同时，引用[3]中的点云处理可能与当前问题关联不大，但可能涉及空间搜索算法，不过暂时可以忽略。 在代码编写时，要注意效率和内存使用。多源BFS的时间复杂度是线性的，空间复杂度也是O(mn)，这对于大多数情况是可行的。此外，使用STL的队列和向量结构可以简化代码。 最后，总结实现步骤，并准备代码示例，同时解释关键点，比如BFS的应用、初始化和方向处理。确保代码有注释，便于用户理解。可能还需要比较不同方法的优缺点，说明为什么选择多源BFS。</think>根据您的问题需求，我将为您提供基于多源BFS的最优解法和分层递进式实现方案。以下是详细的实现步骤和代码分析： --- ### 一、问题理解与算法选择 **目标**：给定$m×n$的01矩阵，计算每个元素到最近1的曼哈顿距离 **关键点**： 1. **曼哈顿距离**：$distance = |x1-x2| + |y1-y2|$[^1] 2. **多源BFS优势**：时间复杂度$O(mn)$，空间复杂度$O(mn)$，优于暴力法的$O(m^2n^2)$[^2] --- ### 二、分层实现方案 #### 基础版（标准BFS实现） ```cpp #include <vector> #include <queue> using namespace std; vector<vector<int>> updateMatrix(vector<vector<int>>& mat) { int m = mat.size(), n = mat[0].size(); queue<pair<int, int>> q; // 初始化距离矩阵 vector<vector<int>> dist(m, vector<int>(n, -1)); for(int i=0; i<m; ++i) { for(int j=0; j<n; ++j) { if(mat[i][j] == 1) { dist[i][j] = 0; q.push({i, j}); // 多源起点入队 } } } // 四方向向量 vector<pair<int, int>> dirs = {{-1,0}, {1,0}, {0,-1}, {0,1}}; while(!q.empty()) { auto [x, y] = q.front(); q.pop(); for(auto [dx, dy] : dirs) { int nx = x + dx, ny = y + dy; if(nx>=0 && nx<m && ny>=0 && ny<n && dist[nx][ny]==-1) { dist[nx][ny] = dist[x][y] + 1; q.push({nx, ny}); } } } return dist; } ``` #### 优化版（空间压缩） ```cpp vector<vector<int>> updateMatrix_optimized(vector<vector<int>>& mat) { int m = mat.size(), n = mat[0].size(); queue<pair<int, int>> q; // 复用输入矩阵存储距离（标记-1为未访问） for(int i=0; i<m; ++i) { for(int j=0; j<n; ++j) { if(mat[i][j] == 1) { mat[i][j] = 0; // 1的位置距离为0 q.push({i, j}); } else { mat[i][j] = -1; // 标记未访问的0 } } } vector<pair<int, int>> dirs = {{-1,0}, {1,0}, {0,-1}, {0,1}}; while(!q.empty()) { auto [x, y] = q.front(); q.pop(); for(auto [dx, dy] : dirs) { int nx = x + dx, ny = y + dy; if(nx>=0 && nx<m && ny>=0 && ny<n && mat[nx][ny]==-1) { mat[nx][ny] = mat[x][y] + 1; q.push({nx, ny}); } } } return mat; } ``` --- ### 三、算法解析 **核心逻辑**： 1. **多源初始化**：所有1的位置作为起点同时入队（距离0） 2. **层级扩散**：BFS天然保证首次访问时的距离最小性 3. **四方向探测**：使用方向向量简化代码 **复杂度对比**： | 方法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | |------------|------------|------------| | 暴力法 | O(m²n²) | O(1) | | 多源BFS | O(mn) | O(mn) | | 优化版BFS | O(mn) | O(1) | --- ### 四、测试用例 ```cpp int main() { // 测试用例 vector<vector<int>> mat = { {0,0,0}, {0,1,0}, {0,0,0} }; auto res = updateMatrix(mat); // 输出结果应为： // 2 1 2 // 1 0 1 // 2 1 2 for(auto& row : res) { for(int val : row) cout << val << " "; cout << endl; } return 0; } ``` --- ### 五、扩展应用 1. **图像处理**：计算像素到最近边缘的距离 2. **路径规划**：多目标点最短路径计算 3. **游戏开发**：势力范围扩散模拟