7-15 反素数 分数 10 作者 void_Mirage 单位 怀化市第三中学 描述 反素数(逆向拼写的素数)是指一个将其逆向拼写后也是一个素数的非回文数。 例如： 13和31都是素数，且13和31都不是回文数，所以，13和31是反素数。 输入一个正整数 n , 请在同一行输出从小到大排列的的前n个反素数，每个数字后面加一个空格。 提示 所谓回文数即逆序后仍等于自身的数，如121、22、34543均为回文数，判别一个数是否为回文数可将这个数转为字符串类型或转为列表，逆序字符串或列表后与原字符串或列表完全相等即为回文数。 输入 输入一个正整数。

好的，这是一个数学问题，让我来帮助你解决。根据题目的条件，我们需要先判断一个数是否为素数，再判断其逆向拼写后是否也是素数，如果是，则为反素数。下面是一个 Python 代码示例，可以输出从小到大排列的前 n 个反素数： ```python def is_prime(n): if n < 2: return False for i in range(2, int(n**0.5) + 1): if n % i == 0: return False return True def reverse_num(n): return int(str(n)[::-1]) n = int(input()) count = 0 i = 10 while count < n: if is_prime(i) and is_prime(reverse_num(i)) and i != reverse_num(i): print(i, end=" ") count += 1 i += 1 ``` 代码中的 `is_prime` 函数用于判断一个数是否为素数，`reverse_num` 函数用于将一个数逆向拼写。程序通过一个 while 循环不断增加 i 的值，直到找到 n 个反素数为止，将它们输出。

### 反素数的概念与Python实现 反素数是指满足特定条件的一类特殊整数。对于正整数 \( x \)，如果其约数个数比任何一个小于它的正整数都大，则称 \( x \) 是一个反素数[^4]。 以下是基于 Python 编写的寻找小于 \( n \) 的所有反素数的算法： #### 算法设计 为了高效地找出所有的反素数，可以采用如下方法： 1. **预处理素数列表**：利用埃拉托斯特尼筛法生成小于 \( n \) 的所有素数。 2. **枚举可能的组合**：通过尝试不同的素数组合及其幂次来构建潜在的反素数。 3. **验证反素数性质**：逐一检查这些数值是否满足反素数定义。 下面是完整的代码实现： ```python import math def count_divisors(factors): """ 计算由因子构成的数的约数个数 """ result = 1 for exp in factors.values(): result *= (exp + 1) return result def generate_antiprimes(limit): primes = [] is_prime = [True] * (limit + 1) is_prime[0], is_prime[1] = False, False # 使用埃氏筛获取素数表 for i in range(2, int(math.sqrt(limit)) + 1): if is_prime[i]: for j in range(i*i, limit + 1, i): is_prime[j] = False for i in range(len(is_prime)): if is_prime[i]: primes.append(i) max_divisor_count = 0 antiprimes = [] def backtrack(index, product, divisor_count, prev_exp): nonlocal max_divisor_count if index >= len(primes): return p = primes[index] # 枚举当前素数的指数 exp = 1 while True: new_product = product * (p ** exp) if new_product > limit or exp > prev_exp: break current_divisor_count = divisor_count * (exp + 1) if current_divisor_count > max_divisor_count: max_divisor_count = current_divisor_count antiprimes.append(new_product) backtrack(index + 1, new_product, current_divisor_count, exp) exp += 1 backtrack(0, 1, 1, float('inf')) return sorted(set(antiprimes)) if __name__ == "__main__": n = int(input("请输入上限 N: ")) antiprimes = generate_antiprimes(n) print(f"小于 {n} 的所有反素数为: {antiprimes}") ``` 此程序的核心在于回溯法的应用以及对每种可能性的有效剪枝操作，从而减少不必要的计算开销[^4]。 ### 关键点解析 - **素数生成**：借助高效的埃拉托斯特尼筛法快速获得所需范围内的全部素数。 - **约束条件**：为了避免冗余运算，在递归过程中加入合理的限制条件（如 `exp > prev_exp`），确保解空间缩小至合理规模。 - **动态更新最大值**：每当发现新的更优解时立即记录下来，并据此调整全局最优状态。