确定两条曲线是否相似的方法

### 如何比较两条曲线的相似性 #### 动态时间规整 (Dynamic Time Warping, DTW) 为了衡量两条不同长度的时间序列之间的相似度，可以采用动态时间规整(DTW)算法。该算法允许非线性的映射来匹配两个序列，并通过累积距离矩阵找到最优路径以最小化总成本。 对于给定的数据集 \(X\) 和 \(Y\), 其中每一个都是由一系列数值构成的一维数组： \[ X = \{x_1,x_2,...,x_N\} \\ Y=\{y_1,y_2,...,y_M\}\] 定义一个累加代价函数\(D(i,j)\)，表示从起点到位置\((i,j)\)的最佳路径的成本，则有: \[ D(i,j)=d(x_i,y_j)+min[D(i−1,j),D(i,j−1),D(i−1,j−1)] \] 这里 \( d() \) 表示局部距离测量，通常取欧几里得距离或其他形式的距离测度[^1]。 最终得到的整体相似程度可以用最后一个元素 \(D(N,M)\) 来代表整个序列间的差异大小；越小意味着更接近。 ```python import numpy as np from fastdtw import fastdtw from scipy.spatial.distance import euclidean def dtw_distance(ts_a, ts_b): distance, path = fastdtw(ts_a, ts_b, dist=euclidean) return distance # Example usage with two time series arrays time_series_A = np.array([0, 1, 1, 2, 4, 2, 2, 4, 5]) time_series_B = np.array([0, 1, 2, 3, 4]) similarity_score = dtw_distance(time_series_A, time_series_B) print(f"The similarity score between the curves is {similarity_score}") ``` #### Fréchet Distance 方法 另一种用于评估两曲面间近似度的方法是Fréchet距离。这种方法考虑到了形状上的变化而不仅仅是点对点的距离。它描述了一个行走者沿着第一条轨迹移动的同时另一个沿第二条走动时两者之间可能达到的最大分离情况下的最小值。这使得其非常适合用来处理具有复杂形态结构的对象对比问题[^4]。 MATLAB 中提供了 `frechetdist` 函数可以直接调用来进行此类分析。Python 用户也可以利用第三方库如 `scipy.spatial.minkowski_distance` 或其他专门工具包实现相同功能。 #### 曲线相关系数计算 当涉及到金融领域内的资产价格变动趋势研究时，还可以借助统计学手段——皮尔逊(Pearson)积矩相关系数去量化关联强度。假设我们有两个波动数据序列 \( x_n \) 和 \( y_n \)，那么它们之间的关系可通过以下公式得出： \[ r_{xy}= \frac{\sum^n_{k=1}(x_k-\bar{x})(y_k-\bar{y})}{\sqrt{\sum^n_{k=1}(x_k-\bar{x})^2}\cdot\sqrt{\sum^n_{k=1}(y_k-\bar{y})^2}} \] 其中 \(r_{xy}\in[-1,+1]\); 当绝对值趋近于1时表示高度正/负相关; 接近零则说明几乎没有联系[^3]。 ```python import pandas as pd dataframe = pd.DataFrame({'Curve A': [values_of_curve_A], 'Curve B': [values_of_curve_B]}) correlation_coefficient = dataframe['Curve A'].corr(dataframe['Curve B']) print(f"Pearson correlation coefficient: {correlation_coefficient:.4f}") ```