slam三维刚体运动模型
时间: 2025-03-08 15:14:41 浏览: 55
### SLAM 中三维刚体运动模型
在同步定位与地图构建(SLAM)领域,三维刚体运动模型用于描述不同坐标系间的转换关系。具体来说,在SLAM框架下,涉及多个重要的坐标系,包括但不限于世界坐标系、机器人坐标系以及相机坐标系等[^5]。
#### 刚体运动特性
对于任意给定的向量而言,在经历刚体运动前后其长度和方向余弦均保持不变。这意味着当物体仅发生旋转和平移操作而不伴随形变时,则认为该过程遵循着严格的刚体运动规律。这种性质保证了即使是在不同的参照体系间切换观察视角,对象本身的几何特征也不会受到影响。
#### 数学表达方式
为了精确刻画上述提到的空间变换行为,可以采用齐次坐标表示法来简化计算流程并提高效率。设\( T \in SE(3)\)(特殊欧氏群),代表从源坐标系到目标坐标系的一个欧式变换矩阵:
\[
T=\left[\begin{array}{cc}
R & t \\
\mathbf{0}^{T} & 1
\end{array}\right], R \in SO(3),t \in \mathbb{R}^{3}
\]
其中 \(R\) 表示绕原点发生的纯旋转变换部分;而 \(t\) 是沿三个轴方向上的平移分量。利用这样的结构化定义能够方便地实现对复杂场景中多姿态变化的有效管理。
#### 应用实例
考虑到实际应用场景的需求,比如移动机器人自主导航任务里,就需要不断地更新自身相对于周围环境的位置信息。此时借助于激光雷达或者摄像头获取外部感知数据,并结合IMU惯导装置提供的内部状态反馈共同完成实时定位功能。在此基础上进一步开展路径规划等工作就变得可行起来。
```python
import numpy as np
def se3_to_SE3(xi):
"""Converts a vector xi in the Lie algebra of SE(3) to its corresponding transformation matrix."""
omega = xi[:3]
v = xi[3:]
skew_omega = np.array([[ 0, -omega[2], omega[1]],
[ omega[2], 0, -omega[0]],
[-omega[1], omega[0], 0]])
theta = np.linalg.norm(omega)
if abs(theta)<np.finfo(float).eps:
R = np.eye(3)
V = np.eye(3)
else:
axis = omega / theta
sin_theta = np.sin(theta)
cos_theta = np.cos(theta)
R = (cos_theta * np.eye(3)) + ((1-cos_theta)*np.outer(axis,axis))+(sin_theta*skew_omega)
A = (1-np.cos(theta))/(theta**2)
B = (theta-sin_theta)/(theta**3)
V = np.eye(3)+(A*skew_omega)+(B*np.dot(skew_omega,skew_omega))
p = np.dot(V,v)
T = np.block([
[R , p.reshape(-1,1)],
[np.zeros((1,3)), [[1]] ]
])
return T
```
此代码片段展示了如何基于李代数se(3)中的六维向量ξ构造对应的SE(3)变换矩阵T。这有助于理解底层理论的同时也为具体的工程实践提供了工具支持。
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