6-8 求解图的m着色问题(回溯法) 分数 10 作者 王东 单位 贵州师范学院 给定无向连通图G和m种不同的颜色。用这些颜色为图G的各顶点着色,每个顶点着一种颜色。如果有一种着色法使G中每条边的两个顶点着不同颜色,则称这个图是m可着色的。图的m着色问题是对于给定图G和m种颜色,找出所有不同的着色法。 函数接口定义: void dfs(int i); 裁判测试程序样例: #include <stdio.h> #include <string.h> #define MAXN 20 //图最多的顶点个数 int n,k,m; int a[MAXN][MAXN]; int count=0; //全局变量,累计解个数 int x[MAXN]; //全局变量,x[i]表示顶点i的着色 bool Same(int i) //判断顶点i是否与相邻顶点存在相同的着色 { for (int j=1;j<=n;j++) if (a[i][j]==1 && x[i]==x[j]) return false; return true; } int main() { memset(a,0,sizeof(a)); //a初始化 memset(x,0,sizeof(x)); //x初始化 int x,y; scanf("%d%d%d",&n,&k,&m); //输入n,k,m for (int j=1;j<=k;j++) { scanf("%d%d",&x,&y); //输入一条边的两个顶点 a[x][y]=1; //无向图的边对称 a[y][x]=1; } dfs(1); //从顶点1开始搜索 if (count>0) //输出结果 printf("%d",count); else printf("-1"); return 0; } /* 请在这里填写答案 */ 输出格式: 程序运行结束时,将计算出的不同的着色方案数输出。如果不能着色,程序输出-1。 输入样例: 5 8 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 2 5 3 4 4 5 输出样例: 48 代码长度限制 16 KB 时间限制 400 ms 内存限制
时间: 2025-06-26 20:05:24 浏览: 15
### 图的m着色问题回溯法实现
#### 问题描述
给定一个无向连通图 \( G = (V, E) \),以及 \( m \) 种颜色,目标是对图中的每个顶点进行着色,使得任意两条相邻边上的顶点具有不同的颜色。如果能够找到一种合法的着色方案,则输出所有可能的着色方案;否则输出 "NO"。
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#### 解决方法概述
为了求解该问题,可以采用 **回溯法** 进行递归搜索。以下是具体的设计思路:
1. 使用邻接矩阵 \( a[n][n] \) 表示图 \( G \),其中 \( n \) 是顶点的数量,\( a[i][j] = 1 \) 表示顶点 \( i \) 和 \( j \) 存在一条边连接。
2. 创建数组 \( x[n] \) 记录每个顶点的颜色值,初始时均为未分配状态(通常设为0)。
3. 定义辅助函数 `Ok(t)` 判断当前顶点 \( t \) 是否能被赋予某种颜色而不违反约束条件[^3]。
4. 设计核心递归函数 `Backtrack(k)` 对第 \( k \) 个顶点尝试所有的颜色可能性,并调用 `Ok` 函数验证合法性。
5. 如果某一层的所有颜色均不可行,则触发回溯机制,回到上一层重新选择颜色[^4]。
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#### C++代码实现
下面是基于上述逻辑编写的完整程序:
```cpp
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 10; // 假设最多有10个顶点
int n, m; // n: 节点数量, m: 颜色种类
bool a[MAXN][MAXN]; // 邻接矩阵
int x[MAXN]; // 当前解向量,存储各节点的颜色编号
bool foundSolution = false;
// 检查当前顶点t是否可以上色x[t]
bool Ok(int t) {
for (int j = 1; j < t; ++j) {
if (a[t][j] && x[j] == x[t]) { // 若两顶点相邻且颜色相同
return false;
}
}
return true;
}
// 回溯算法主体
void Backtrack(int t) {
if (t > n) { // 已经处理完所有顶点
cout << "One possible coloring scheme is:" << endl;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
cout << "Vertex " << i << ": Color " << x[i] << endl;
}
foundSolution = true;
return;
}
for (int color = 1; color <= m; ++color) { // 尝试每种颜色
x[t] = color;
if (Ok(t)) { // 合法则继续下一层
Backtrack(t + 1);
}
x[t] = 0; // 回溯:恢复现场
}
}
int main() {
cin >> n >> m; // 输入顶点数和可用颜色数
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = 1; j <= n; ++j) {
cin >> a[i][j]; // 输入邻接矩阵
}
}
Backtrack(1); // 开始从第一个顶点着手色
if (!foundSolution) {
cout << "No valid coloring exists." << endl;
}
return 0;
}
```
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#### 关键点解析
1. **初始化阶段**
- 用户输入图的大小 \( n \)、颜色数目 \( m \) 以及邻接关系矩阵 \( a \)[^2]。
2. **递归终止条件**
- 当所有顶点都已成功赋值颜色时 (\( t > n \)),打印当前解决方案并标记找到了至少一组可行解[^1]。
3. **可行性检测**
- 辅助函数 `Ok(t)` 确保新加入的颜色不会破坏已有配色规则,即任何一对相连顶点不得共享同一色彩。
4. **回溯过程**
- 在穷尽某一层次下的全部候选颜色后仍未发现合适选项时,需撤销最近的一次决定 (`x[t]=0`) 并退返至上一决策层再次试探其它路径。
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