import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import quad from scipy.optimize import fsolve plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 解决中文显示问题 plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 解决负号显示问题 # ============================== # 材料参数设定（以钆镓石榴石为例） # ============================== Tc = 2.0 # 居里温度 (K) H_max = 5.0 # 最大磁场强度 (T) C_m = 10.0 # 磁热容 (J/(kg·K)) mu0 = 4*np.pi*1e-7 # 真空磁导率 # ============================== # 磁熵变计算函数 (ΔS_M) # ============================== def delta_SM(T, H): """磁熵变积分公式 ΔS_M = ∫(∂M/∂T)_H dH""" # 简化假设：M = M_sat * (1 - (T/Tc)^1.5) ，在H足够大时近似 M_sat = 1.0 # 饱和磁化强度 (A/m) dMdT = -1.5 * M_sat * (T**(0.5))/Tc**1.5 # 导数项 return quad(lambda h: dMdT, 0, H)[0] # 对H积分 # ============================== # 温度-熵关系模型 # ============================== def entropy(T, H=0): """总熵 = 磁熵 + 晶格熵""" S_mag = delta_SM(T, H) S_lattice = C_m * np.log(T) if T > 0 else -np.inf # 处理边界情况 return S_mag + S_lattice def temperature(S_target, H): """求解给定熵和磁场时的温度""" def f(T): return entropy(T, H) - S_target try: return fsolve(f, x0=Tc)[0] except: return np.nan # ============================== # 磁制冷循环模拟 # ============================== # 初始状态 T_initial = 1.5 # 初始温度 (K) # 等温磁化 (A→B) T1 = T_initial S1 = entropy(T1, H=0) S2 = entropy(T1, H=H_max) # 绝热退磁 (B→C) H_steps_rev = np.linspace(H_max, 0, 100) S_BC = np.full_like(H_steps_rev, S2) T_BC = [temperature(s, h) for s, h in zip(S_BC, H_steps_rev)] # 等温退磁 (C→D) T2 = np.nanmin(T_BC) S3 = entropy(T2, H=0) S4 = entropy(T2, H=H_max) # 绝热磁化 (D→A) H_steps_mag = np.linspace(0, H_max, 100) S_DA = np.full_like(H_steps_mag, S3) T_DA = [temperature(s, h) for s, h in zip(S_DA, H_steps_mag)] # ============================== # 绘图 # ============================== plt.figure(figsize=(12, 6)) # 温熵图 (T-S图) plt.subplot(1,2,1) T_range = np.linspace(0.5, 3, 100) for H in [0, H_max]: S = [entropy(T, H) for T in T_range] plt.plot(S, T_range, label=f'H={H} T') # 绘制循环路径 plt.plot([S1, S2], [T1, T1], 'r--', label='等温磁化') # A→B plt.plot([entropy(t, h) for t, h in zip(T_BC, H_steps_rev)], T_BC, 'g--', label='绝热退磁') # B→C plt.plot([S3, S4], [T2, T2], 'b--', label='等温退磁') # C→D plt.plot([entropy(t, h) for t, h in zip(T_DA, H_steps_mag)], T_DA, 'm--', label='绝热磁化') # D→A plt.xlabel('熵 S (J/kg·K)') plt.ylabel('温度 T (K)') plt.title('温熵图 (T-S Diagram)') plt.grid(True) plt.legend() # 磁制冷循环图 plt.subplot(1,2,2) H_cycle = np.concatenate([ np.linspace(0, H_max, 100), np.linspace(H_max, 0, 100), np.linspace(0, -H_max, 100), np.linspace(-H_max, 0, 100) ]) T_cycle = np.concatenate([ [T1]*100, T_BC, [T2]*100, T_DA ]) plt.plot(H_cycle, T_cycle, 'r-') plt.xlabel('磁场强度 H (T)') plt.ylabel('温度 T (K)') plt.title('磁制冷循环温度变化') plt.grid(True) plt.tight_layout() plt.show() 帮我详细讲解其中的每一个函数

以下是对代码中每个函数的详细讲解，包括它们的作用、实现细节以及相关背景知识。 --- ### 1. **`delta_SM(T, H)`** #### 功能： 计算磁熵变（ΔS_M），即磁场强度从0到H变化时的磁熵变化量。 #### 实现细节： - 使用了简化假设：磁化强度 \( M \) 与温度 \( T \) 的关系为 \( M = M_{\text{sat}} \cdot (1 - (T/T_c)^{1.5}) \)，其中 \( M_{\text{sat}} \) 是饱和磁化强度。 - 磁熵变公式为 \( \Delta S_M = \int (\partial M / \partial T)_H dH \)。 - 计算导数项 \( \partial M / \partial T \) 并通过数值积分（`quad` 函数）求解磁熵变。 #### Python代码： ```python def delta_SM(T, H): """磁熵变积分公式 ΔS_M = ∫(∂M/∂T)_H dH""" M_sat = 1.0 # 饱和磁化强度 (A/m) dMdT = -1.5 * M_sat * (T**(0.5)) / Tc**1.5 # 导数项 return quad(lambda h: dMdT, 0, H)[0] # 对H积分 ``` #### 解释： - `quad` 是 SciPy 中的数值积分函数，用于计算定积分。 - `dMdT` 表示磁化强度随温度的变化率。 - 积分范围是从 0 到给定的磁场强度 \( H \)。 --- ### 2. **`entropy(T, H=0)`** #### 功能： 计算总熵，包括磁熵和晶格熵。 #### 实现细节： - 总熵由两部分组成：磁熵 \( S_{\text{mag}} \) 和晶格熵 \( S_{\text{lattice}} \)。 - 晶格熵公式为 \( S_{\text{lattice}} = C_m \cdot \ln(T) \)，其中 \( C_m \) 是磁热容。 - 当温度 \( T \leq 0 \) 时，晶格熵被设置为负无穷大以避免对数运算中的错误。 #### Python代码： ```python def entropy(T, H=0): """总熵 = 磁熵 + 晶格熵""" S_mag = delta_SM(T, H) S_lattice = C_m * np.log(T) if T > 0 else -np.inf # 处理边界情况 return S_mag + S_lattice ``` #### 解释： - `delta_SM(T, H)` 计算磁熵。 - `C_m * np.log(T)` 计算晶格熵。 - 边界条件处理：当 \( T \leq 0 \) 时，返回负无穷大以避免对数运算中的数学错误。 --- ### 3. **`temperature(S_target, H)`** #### 功能： 根据给定的熵值 \( S_{\text{target}} \) 和磁场强度 \( H \)，反推出对应的温度 \( T \)。 #### 实现细节： - 定义了一个内部函数 `f(T)`，表示当前温度下的熵与目标熵之间的差值。 - 使用 `fsolve` 函数求解方程 \( f(T) = 0 \) 的根。 - 如果求解失败（例如没有找到合适的解），返回 `np.nan`。 #### Python代码： ```python def temperature(S_target, H): """求解给定熵和磁场时的温度""" def f(T): return entropy(T, H) - S_target try: return fsolve(f, x0=Tc)[0] except: return np.nan ``` #### 解释： - `fsolve` 是 SciPy 中的非线性方程求解器，用于找到使 \( f(T) = 0 \) 的 \( T \) 值。 - 初始猜测值为居里温度 \( T_c \)。 - 如果求解失败（例如超出定义域或无解），返回 `np.nan`。 --- ### 4. **磁制冷循环模拟** #### 功能： 模拟一个完整的磁制冷循环，包括等温磁化、绝热退磁、等温退磁和绝热磁化四个阶段。 #### 实现细节： - **等温磁化 (A→B)**：保持温度不变，增加磁场强度，记录熵的变化。 - **绝热退磁 (B→C)**：保持熵不变，减少磁场强度，记录温度的变化。 - **等温退磁 (C→D)**：保持温度不变，减少磁场强度，记录熵的变化。 - **绝热磁化 (D→A)**：保持熵不变，增加磁场强度，记录温度的变化。 #### Python代码： ```python # 初始状态 T_initial = 1.5 # 初始温度 (K) # 等温磁化 (A→B) T1 = T_initial S1 = entropy(T1, H=0) S2 = entropy(T1, H=H_max) # 绝热退磁 (B→C) H_steps_rev = np.linspace(H_max, 0, 100) S_BC = np.full_like(H_steps_rev, S2) T_BC = [temperature(s, h) for s, h in zip(S_BC, H_steps_rev)] # 等温退磁 (C→D) T2 = np.nanmin(T_BC) S3 = entropy(T2, H=0) S4 = entropy(T2, H=H_max) # 绝热磁化 (D→A) H_steps_mag = np.linspace(0, H_max, 100) S_DA = np.full_like(H_steps_mag, S3) T_DA = [temperature(s, h) for s, h in zip(S_DA, H_steps_mag)] ``` #### 解释： - 使用 `np.linspace` 生成磁场强度的变化序列。 - 在绝热过程中，通过 `temperature` 函数计算对应温度。 - 熵值在绝热过程中保持不变。 --- ### 5. **绘图** #### 功能： 绘制温熵图（T-S图）和磁制冷循环图。 #### 实现细节： - **温熵图**：绘制不同磁场强度下的温度-熵曲线，并标记磁制冷循环路径。 - **磁制冷循环图**：绘制磁场强度随时间变化时的温度变化曲线。 #### Python代码： ```python plt.figure(figsize=(12, 6)) # 温熵图 (T-S图) plt.subplot(1,2,1) T_range = np.linspace(0.5, 3, 100) for H in [0, H_max]: S = [entropy(T, H) for T in T_range] plt.plot(S, T_range, label=f'H={H} T') # 绘制循环路径 plt.plot([S1, S2], [T1, T1], 'r--', label='等温磁化') # A→B plt.plot([entropy(t, h) for t, h in zip(T_BC, H_steps_rev)], T_BC, 'g--', label='绝热退磁') # B→C plt.plot([S3, S4], [T2, T2], 'b--', label='等温退磁') # C→D plt.plot([entropy(t, h) for t, h in zip(T_DA, H_steps_mag)], T_DA, 'm--', label='绝热磁化') # D→A plt.xlabel('熵 S (J/kg·K)') plt.ylabel('温度 T (K)') plt.title('温熵图 (T-S Diagram)') plt.grid(True) plt.legend() # 磁制冷循环图 plt.subplot(1,2,2) H_cycle = np.concatenate([ np.linspace(0, H_max, 100), np.linspace(H_max, 0, 100), np.linspace(0, -H_max, 100), np.linspace(-H_max, 0, 100) ]) T_cycle = np.concatenate([ [T1]*100, T_BC, [T2]*100, T_DA ]) plt.plot(H_cycle, T_cycle, 'r-') plt.xlabel('磁场强度 H (T)') plt.ylabel('温度 T (K)') plt.title('磁制冷循环温度变化') plt.grid(True) plt.tight_layout() plt.show() ``` #### 解释： - 使用 `matplotlib` 绘制图形。 - 温熵图展示了不同磁场强度下的温度-熵关系。 - 磁制冷循环图展示了磁场强度变化时的温度变化。 --- ###