Wavelet-SVD

### Wavelet-SVD 的基本概念 Wavelet-SVD 是一种结合离散小波变换 (Discrete Wavelet Transform, DWT) 和奇异值分解 (Singular Value Decomposition, SVD) 技术的方法，在信号处理和图像压缩领域具有广泛应用。该技术的核心在于利用小波变换提取信号或图像的不同频率分量，随后应用奇异值分解进一步降低数据冗余并保留重要特征。 #### 小波变换的作用 小波变换能够将原始信号分解成不同尺度下的低频和高频部分[^1]。对于二维图像而言，DWT 可以将其划分为近似子带（LL）、水平细节子带（LH）、垂直细节子带（HL）以及对角细节子带（HH）。这种多分辨率表示形式有助于突出图像中的主要结构特性。 #### 奇异值分解的功能 SVD 能够将矩阵 \( A \in R^{m\times n} \) 表达为三个矩阵乘积的形式：\( U\Sigma V^T \)，其中 \( U \) 和 \( V \) 分别代表左奇异向量与右奇异向量组成的正交矩阵，而 \( \Sigma \) 则是对角线上包含按降序排列的非负实数——即奇异值的矩形对角阵[^2]。通过对较小奇异值置零操作可以达到降维目的同时尽可能保持原数据的主要信息不变。 #### 结合方式及其优势 当把上述两种方法结合起来时，先执行一次或多级的小波变换得到各级系数；接着针对这些系数矩阵实施SVD运算，并依据一定准则选取前若干大奇异值对应的成分重构最终结果。这种方法不仅继承了各自单独使用的优点—如良好的局部化特性和强大的去噪能力—而且还能更有效地去除噪声干扰项从而提高后续分析精度或者存储效率等方面表现优异。 以下是基于 Python 实现的一个简单例子展示如何运用 wavelets 和 numpy 库完成这一过程： ```python import pywt import numpy as np def perform_wavelet_svd(image_matrix, level=1): # Apply Discrete Wavelet Transform on input image matrix. coeffs = pywt.wavedec2(image_matrix, 'haar', level=level) approx_coefficients = [] for i in range(len(coeffs)): if isinstance(coeffs[i], tuple): # Detail coefficients at each level detail_coeffs = list(coeffs[i]) svd_results = [] for dcoeff in detail_coeffs: u, s, vh = np.linalg.svd(dcoeff, full_matrices=False) # Retain only top k singular values and corresponding vectors. rank_k = min(s.shape[0], int(np.sqrt(s.size))) reduced_u = u[:, :rank_k] reduced_sigma = np.diag(s[:rank_k]) reduced_vh = vh[:rank_k, :] reconstructed_dcoeff = reduced_u @ reduced_sigma @ reduced_vh svd_results.append(reconstructed_dcoeff) approx_detail = tuple(svd_results) approx_coefficients.append(approx_detail) else: # Approximation coefficient at last level u, s, vh = np.linalg.svd(coeffs[-1], full_matrices=False) rank_k = min(s.shape[0], int(np.sqrt(s.size))) reduced_u = u[:, :rank_k] reduced_sigma = np.diag(s[:rank_k]) reduced_vh = vh[:rank_k, :] approx_approx = reduced_u @ reduced_sigma @ reduced_vh approx_coefficients.append(approx_approx) compressed_image = pywt.waverec2(approx_coefficients, 'haar') return compressed_image.astype('uint8') # Example usage with a grayscale image represented by an array `img`. compressed_img = perform_wavelet_svd(img, level=2) ``` 此代码片段展示了如何通过 PyWavelets 进行两级 Haar 波动转换后再做 SVD 处理来实现图片压缩效果演示版本。