使用PDEModeler求解二维偏微分方程的应用实例

# 使用PDE Modeler求解二维偏微分方程的应用实例 ## 1. 引言 在工程和科学领域中，二维偏微分方程（PDE）的求解是一个常见的问题。PDE Modeler 是一个强大的工具，可用于解决各种类型的二维 PDE 问题。本文将通过几个具体的应用实例，详细介绍如何使用 PDE Modeler 来求解不同类型的二维 PDE，并展示如何进行结果的可视化和分析。 ## 2. 绘图基础操作 在使用 PDE Modeler 进行绘图时，有一些基本的操作需要掌握： - **绘制正方形或圆形**：使用“Rectangle/Square (centered)”或“Ellipse/Circle (centered)”按钮，将鼠标指针放置在中心点，按住右键并拖动鼠标到正方形的任意对角点或圆形的半径位置。 - **检查和修正基本形状**：建议对每个绘制的基本形状进行检查和修正。将鼠标指针放在形状内并点击，在弹出的窗口中可以查看和修正形状的所需坐标。对于多边形，同样的操作会打开一个显示顶点坐标的弹出列表窗口。 ## 3. 应用实例 1：半球形孔隙表面间润滑膜的瞬时压力分布 ### 3.1 问题描述 二维雷诺方程描述了两个覆盖有半球形孔隙的表面之间薄润滑膜的流体动力学行为，其中一个表面静止，另一个表面移动。方程形式如下： \[ \frac{\partial}{\partial X}\left(H^3\frac{\partial P}{\partial X}\right) + \frac{\partial}{\partial Z}\left(H^3\frac{\partial P}{\partial Z}\right) = \frac{dH}{dX} + 2\frac{dH}{dt} \] 其中，$P$ 是膜中产生的流体动力压力，$X$ 是坐标，$H$ 是上下表面之间的间隙，$t$ 是时间，所有变量均为无量纲。 ### 3.2 边界条件和参数设置 - **边界条件**：在矩形孔隙单元的边界 $X\in[-\xi,\xi]$ 和 $Z\in[-\xi,\xi]$ 处，流体动力压力假设为零，即 $P = 0$ 在 $X, Z = \pm\xi$ 处。 - **参数设置**：假设 $t\xi = 2$，$\xi = 2$，$\psi = 8$。 ### 3.3 求解步骤 1. **确定方程类型**：通过将雷诺方程与标准形式进行匹配，可知在指定时间下，雷诺方程是椭圆型 PDE。 2. **激活 PDE Modeler**：在命令窗口输入 `>>pdeModeler`。 3. **设置绘图选项**：在 PDE Modeler 菜单的“Options”按钮的弹出菜单中，标记“Grid”和“Snap lines”，并在“Axis Limits”对话框中输入 $x$ 和 $y$ 的限制范围为 $[-0.5 4.5]$ 和 $[-2.5 2.5]$。使用通用应用选项“Generic Scalar (default)”。 4. **绘制几何形状**： - 激活“Draw Mode”，使用“rectangle”按钮绘制一个矩形，将鼠标箭头放在点 $(0, -2)$ 并拖动到点 $(4,2)$。 - 点击“Ellipse/Circle (centered)”按钮绘制下表面圆形区域，将鼠标放在点 $(2,0)$，按住右键并对角拖动到点 $(4,1)$。 - 再次点击“Ellipse/Circle (centered)”按钮绘制上表面圆形区域，将鼠标放在点 $(3,0)$，按住右键并对角拖动到点 $(4,1)$。 - 点击每个形状内部，使用“Object Dialog”面板检查和修正形状参数。 5. **设置边界条件**：激活“Boundary”按钮，在出现的“Boundary Conditions”面板中，选择“Dirichlet”选项，在“h”字段输入 1，在“r”字段输入 0，对矩形的每一侧都进行此操作（这些操作是可选的，因为默认设置为 Dirichlet 边界条件）。 6. **设置 PDE 模式**：从 PDE Modeler 主菜单按钮的弹出菜单中选择“PDE Mode”。研究的物体有四个子域，分别为一个矩形、两个相对表面上不重叠的圆形部分和一个重叠的圆形子域。标记“Show domain labels”选项可以显示子域编号。 7. **设置子域参数**： - 子域 1：将鼠标指针移到子域 1 上并点击鼠标按钮，在打开的“PDE Specification”面板中，检查/标记为椭圆型 PDE，并分别在“c”、“a”和“f”字段输入 1、0 和 0。 - 子域 2：将鼠标指针放在子域 2 上并按下鼠标按钮，在出现的“PDE Specification”面板中，检查椭圆型 PDE（默认），在“c”字段输入 `(1+8*sqrt(1− (x−3).^2−y.^2)).^3`，在“a”字段输入 0，在“f”字段输入 `8 * (x−3)./sqrt(1− (x−3).^2−y.^2)`。 - 子域 3：按照与子域 2 相同的步骤，在“c”字段输入 `-(8*sqrt(1−(x−2).^2−y.^2)).^3`，在“a”字段输入 0，在“f”字段输入 `(8*(x−2)./sqrt(1− (x−2).^2−y.^2)`。 - 子域 4：在“c”字段输入 `(1+8*(sqrt(1− (x−3).^2−y.^2)+sqrt(1− (x−2).^2−y.^2))).^3`，在“a”字段输入 0，在“f”字段输入 `-8*((x−3)./sqrt(1− (x−3).^2−y.^2)+(x−2)./sqrt(1− (x−2).^2−y.^2))`。 8. **初始化和细化网格**：激活“Mesh Mode”，初始化三角形网格，然后将网格细化两次。 9. **求解方程**：从主菜单“Solve”按钮的弹出列表中选择“Solve PDE”，出现带有彩色条的二维解。 10. **结果可视化**： - **二维绘图**：从主菜单“Plot”按钮的弹出列表中选择相应的行，在“Parameter …”面板的适当字段中选择“Colormap”选项为“jet”。 - **三维绘图**：标记“Height(3D plot)”和“Show mesh”选项，在单独的图形窗口中会出现带有解的三维图。 11. **结果分析和保存**： - **数据传输**：从主菜单相应的“Solve”和“Mesh”按钮的弹出菜单中选择“Export Mesh”和“Export Solution”，将解和网格参数传输到 MATLAB 工作区。如果未更改变量名，解存储在“u”矩阵中，网格参数存储在“p”、“e”和“t”矩阵中。 - **获取指定网格点的解**：在命令窗口输入以下命令，显示所需正交网格点的“u”值表： ```matlab x=linspace(0,4,7);y=linspace(-2,2,7); P=tri2grid(p,t,u(:,end),x,y) ``` - **查找最大和最小压力值**：在命令窗口输入 `max(u),min(u)` 查找流体动力压力的最大值和最小值。 - **保存程序**：从主菜单“File”按钮的弹出菜单中