场论中的顶点生成函数、累积量展开与环展开

# 场论中的顶点生成函数、累积量展开与环展开 ## 1. 顶点生成函数与最大熵成对模型 ### 1.1 最大熵成对模型与TAP平均场理论 在研究神经元网络时，最大熵成对模型和TAP平均场理论有着重要应用。以N = 10个神经元为例，有以下几个方面的研究： - **平均活动散点图**：每个神经元的期望平均活动$m_i$与通过采样相应的Glauber动力学得到的经验估计$m_{i,emp}$的散点图。其中，分配的平均活动呈正态分布，均值$\langle m_i \rangle = 0.2$，标准差$\langle m_i^2 \rangle - \langle m_i \rangle^2 = 0.05$，并限制在$m_i \in [0.05, 0.95]$范围内。 - **协方差散点图**：初始值的选择基于相关系数$k_{ij} \equiv \frac{c_{ij}}{\sqrt{m_i(1 - m_i)m_j(1 - m_j)}}$，这些系数从均值为0.05、标准差为0.03的正态分布中随机抽取，并限制在$k_{ij} \in [-1, 1]$范围内。 - **Glauber动力学状态图**：展示了Glauber动力学中神经元状态随时间步的变化，黑色表示$n_i = 1$，白色表示$n_i = 0$。 - **有效作用图**：对于均匀模型的有效作用$\Gamma(m)$，不同数量的单元N（从黑色到浅灰色：N = 10, 20, $N_C$, 50, 100）有不同的曲线。红色曲线表示临界值$N_C \approx 32$，在该值处$\Gamma$的近似变得非凸。 ### 1.2 状态方程与逆问题求解 我们希望确定状态方程有两个解的必要条件，即分布变为双峰的条件，也就是$\Gamma$近似的严格凸性的丧失。对于均匀设置，我们需要推导状态方程并解决逆问题。 - **逆矩阵的使用**：均匀协方差矩阵$c_{ii} = m(1 - m)$和$c_{i\neq j} = c$的逆为$c_{i\neq j}^{-1} = \frac{c}{c - m(1 - m)}\frac{1}{m(1 - m) + (N - 1)c}$。 - **参数选择与绘图**：选择参数K和h，使得$m = 0.2$且$c = 0.05 \cdot m(1 - m)$，然后绘制状态方程$\Gamma^{(1)}(m) - h$作为m的函数，针对不同数量的单元N进行绘图。 - **凸性丧失的条件**：确定$\Gamma$凸性丧失的必要条件，即$\exists m : \frac{\partial}{\partial m}\Gamma^{(2)}((m, \cdots, m)) = 0$，在忽略TAP项的近似下，即精确到$O(K)$阶。 ## 2. 累积量展开为顶点函数的树图 ### 2.1 顶点函数的定义 顶点函数在场论中有着重要的地位，它与配分函数Z、累积量生成函数W和有效作用$\Gamma$有着紧密的联系。 - **泰勒级数表示**：将$\Gamma$写为泰勒级数，其系数称为顶点函数，定义为$\Gamma^{(n_1, \cdots, n_N)}(x^*) := \partial_1^{n_1} \cdots \partial_N^{n_N} \Gamma(x^*)$。反之，$\Gamma(x^*) = \sum_{n_1, \cdots, n_N} \frac{\Gamma^{(n_1, \cdots, n_N)}(x_0)}{n_1! \cdots n_N!} \delta x_1^{*n_1} \cdots \delta x_N^{*n_N}$，其中$\delta x_i^* = x_i^* - x_{0,i}$，$x_0$是任意展开点。 - **图形表示**：对于泰勒系数，我们使用图形表示。额外对$x_i^*$求导会为顶点$\Gamma^{(n)}$添加一个带有相应索引i的腿，对于$W^{(n)}$的导数也是类似的。例如： - $\frac{\partial}{\partial x_1^*} \cdots \frac{\partial}{\partial x_k^*} \Gamma(x^*) = \Gamma^{(k)}_{1, \cdots, k} = \cdots k \ 1$