非局部耦合环形网络上的自适应现象研究

### 非局部耦合环形网络上的自适应现象研究 #### 1. 局部伸展态与旋转波态 在非局部耦合环形网络中，集群并不一定会形成解的家族。根据局部伸展集群的定义，通常需要求解 N 个关于未知相位滞后 $\chi_i$ 的复代数方程。因此，相位滞后的方程组是超定的，局部伸展态的集合可能为空。然而，由于系统的对称性和基本耦合结构，情况并非如此。非局部环形结构的对称性允许为局部伸展类型的集群构建明确的、对称的示例，即旋转波类型的集群。 若 $\chi_i = ik\frac{2\pi}{N}$（其中 $k = 1, \cdots, N$ 为波数），则集群为旋转波类型。在文献中，“伸展态”这一概念常局限于该定义。 可以证明旋转波集群是局部伸展态。将相位分布写为 $\chi_k = (\frac{2\pi k}{N}, \cdots, \frac{2\pi k(N - 1)}{N}, 0)^T$，可得： \[Z^{(n)}_i(\chi_k) = \frac{1}{2P}\sum_{j = i - P}^{i + P}e^{in kj\frac{2\pi}{N}} = e^{in ki\frac{2\pi}{N}}R^{(n)}_N(\chi_k)\] 其中 \[R^{(n)}_N(\chi_k) = \frac{1}{P}\left(\sum_{j = 1}^{P}\cos(nkj\frac{2\pi}{N})\right)\] 由此得出，所有 $k \neq 0, \frac{N}{2}$ 的旋转波态都是局部伸展态，因而是方程 (6.1) - (6.2) 的解。$k = 0, \frac{N}{2}$ 的旋转波集群为对映类型。第 $n$ 阶局部序参数 $\vert Z^{(n)}_i(\chi_k) \vert = R^{(n)}_N(\chi_k)$ 对于所有 $i = 1, \cdots, N$ 是常数，其值取决于波数 $k$。 此外，$Z^{(n)}_i(\chi_k) = Z^{(nk)}_i(\chi_1)$，这将序参数的阶与旋转波态的波数联系起来。对于全局耦合的基本结构，旋转波态在描述对映和全局伸展类型集群的主要特征（如稳定性）方面非常重要。 #### 2. 单集群态的稳定性 为了研究单集群解的局部稳定性，对微分方程组 (6.1) - (6.2) 在锁相态 $\varphi_i(t) = \omega t + a_i$，$\kappa_{ij} = -\sin(a_i - a_j + \beta)$ 附近进行线性化。这些解相对于 $S^1$ 对称性是平衡的，因此围绕此类解的线性化会得到一个系数恒定的线性系统。 实际操作中，可先通过引入新变量 $\varphi(t) - \omega t$ 转换到共旋转坐标系，然后在新坐标下围绕平衡点进行线性化。得到关于扰动 $\delta\varphi_i$ 和 $\delta\kappa_{ij}$ 的线性化系统： \[\frac{d}{dt}\delta\varphi_i = \frac{1}{4P}\sum_{j = i - P}^{i + P}\left[\sin(\beta - \alpha) + \sin(2(a_i - a_j) + \alpha + \beta)\right](\delta\varphi_i - \delta\varphi_j) - \frac{1}{2P}\sum_{j = i - P}^{i + P}\sin(a_i - a_j + \alpha)\delta\kappa_{ij}\] \[\frac{d}{dt}\delta\kappa_{ij} = -\epsilon a_{ij}(\delta\kappa_{ij} + \cos(a_i - a_j + \beta)(\delta\varphi_i - \delta\varphi_j))\] 系统 (6.15) - (6.16) 是一个 $(N + N^2)$ 维的常微分线性系统，可写成 $x' = Lx$（$x \in R^{N + N^2}$）的形式，其稳定性由矩阵 $L$ 的特征值决定。对于所有对映和旋转波态，稳定性分析可以明确进行。旋转波单集群