分形分析与随机微分方程：理论与应用

### 分形分析与随机微分方程：理论与应用 #### 1. 分形分析方法概述 分形分析包含多种方法，如Lévy、Hurst、DFA（去趋势波动分析）和DEA（扩散熵分析）等，这些方法在分析时间序列数据的特征和相关性方面具有重要作用。 对于无相关性或短程相关的数据序列，参数α预期为0.5；对于具有长程幂律相关性的数据序列，α介于0.5和1之间；而对于幂律反相关的数据序列，α介于0和0.5之间。该方法可用于测量高频金融序列以及一些重要指数的每日变化中的相关性。 #### 2. 扩散熵分析（DEA） DEA可用于分析和检测低频和高频时间序列的缩放特性。通过DEA，能够确定时间序列的特征是遵循高斯分布还是Lévy分布，同时可以判断时间序列中是否存在长程相关性。 DEA是一种概率密度函数（PDF）缩放方法，它将时间序列中的数字视为扩散过程的轨迹。对于平稳时间序列，其缩放特性形式为： \[p(x, t) = \frac{1}{t^{\delta}}F(\frac{x}{t^{\delta}})\] 其中，x表示扩散变量，p(x, t)是其在时间t的PDF，0 < δ < 1是缩放指数。 对于非平稳时间序列，缩放特性形式为： \[p(x, t) = \frac{1}{t^{\delta(t)}}F(\frac{x}{t^{\delta(t)}})\] 其中，\(\delta(t) = \delta_0 + \eta\log(t)\)。由Lévy行走生成的扩散过程具有以下关系： \[\delta = \frac{1}{3 - 2(H, \alpha)}\] 如果\(\delta = (H, \alpha)\)，时间序列可以用分数布朗运动（FBM）来表征；如果\(\delta \neq (H, \alpha)\)且上述等式成立，则噪声可以用Lévy统计来表征。这里的\((H, \alpha)\)是从方差缩放方法导出的缩放指数。 #### 3. DEA的估计过程 DEA中缩放指数δ的估计过程基于香农熵。香农熵的概念由Rudolph Clausius在1865年提出，它是衡量事件发生概率p时信息缺失的指标。香农熵对概率分布的信息测量公式为： \[S(t) = -\sum_{1}^{N} p_i \log p_i\] 对于连续概率分布，求和将被积分取代。估计δ的具体步骤如下： 1. 将时间序列数据转换为扩散过程。 2. 计算扩散过程的香农熵。 3. 通过代入平稳和非平稳时间序列的缩放特性公式，分别得到对数线性方程和对数二次方程： - 平稳时间序列：\(S(t) = A + \delta\ln(t)\) - 非平稳时间序列：\(S(t) = A + \delta(t)\tau\)，其中\(\delta(t) = \delta_0 + \eta\log(t)\)，\(\tau = \log(t)\)且\(\eta\log(t) < 1 - \delta_0\)。经过简化后，非平稳时间序列的方程变为\(S(t) = A + (\delta_0 - K) \log(t) + (1 - \delta_0)(\log(t))^2\)，其中K < 0，\(\delta_0\)等同于平稳PDF中的δ。 4. 通过拟合对数线性模型（平稳序列）和对数二次模型（非平稳序列），确定δ（或\(\delta_0\)）缩放。在t = 1时，两个方程中的常数A由S(1)给出。 通过估计上述线性 - 对数方程的斜率或二次 - 对数方程的系数，即可得到δ（或\(\delta_0\)）。 #### 4. 自相似性与Hurst指数 自相似性是随机过程的一个重要特性。一个随机过程被称为自相似的，如果存在一个常数H > 0，使得对于任何缩放因子a > 0，过程\(\{X_{at}\}_{t\geq0}\)和\(\{a^H X_t\}_{t\geq0}\)在有限维分布意义上具有相同的规律。常数H被称为过程X的自相似性指数或Hurst指数。 从定义可知，对于任何正的c和t，\(X_{ct}\)和\(c^H X_t\)具有相同的分布。当选择\(c = 1/t\)时，对于任何正的t，有\(X_t = t^H X_1\)（在分布意义上）。因此，\(F_t(x) = P(X_t \leq x) = P(t^H X_1 \leq x) = F_1(\frac{x}{t^H})\)。 如果\(F_t\)具有密度\(\rho_t\)，则通过对上述公式求导可得： \[\rho_t(x) = \frac{1}{t^H} \rho_1(\frac{x}{t^H})\] Lévy过程（增量独立且遵循Lévy分布）是自相似的。对于该过程，\(\Phi_t(q) = \exp(-t|q|^{\alpha})\)，通过一系列推导可得\(\alpha = \frac{1}{H}\)。 #### 5. 截断Lévy飞行的H - α关系 标准化截断Lévy模型由于截断和标准化的原因，不是自相似的。为了研究该模型与自相似模型的接近程度，需要分析表征截断Lévy飞行（TLF）的α与表征自相似特性的H参数之间的关系。 标准化TLF模型的特征函数为： \[\Phi_t(q) = \varphi_S(q) = \varphi(\frac{q}{\sigma}) = \exp[G(\alpha)t[1 - ((\frac{q}{\sigma})^2 + 1)^{\frac{\alpha}{2}} \cos(\alpha\arctan(\frac{ql}{\sigma}))]]\] 其中，\(G(\alpha) = \frac{2\pi A l^{-\alpha}}{\alpha\Gamma(\alpha) \sin(\pi\alpha)}\)。 通过一系列近似和变量替换，得到： \[\rho_t(x) = I_{0}^{\frac{B}{t^{1/\alpha}}}(t, x) + \frac{1}{t^{1/\alpha}} \frac{1}{\pi}\int_{B}^{\infty} \exp[-G(\alpha) \cos(\frac{\alpha\pi}{2}) (\frac{u}{\sigma})^{\alpha}] \cos(\frac{u x}{t^{1/\alpha}}) du\] 当\(\left|I_{0}^{\frac{B}{t^{1/\alpha}}}(t, x) - \frac{1}{t^{1/\a