马尔可夫耦合神经网络的采样数据同步研究

### 马尔可夫耦合神经网络的采样数据同步研究 #### 1. 引言 在一些控制策略中，如状态反馈控制、自适应控制和脉冲控制，控制输入通常是连续的，即状态变量会被实时获取、传输和处理。然而，在现实世界中，这种条件往往难以保证。随着计算机技术的发展，连续时间控制器逐渐被数字控制器所取代。数字计算机对连续时间测量信号进行采样和量化，生成离散时间信号，再通过零阶保持器将离散时间控制输入信号转换回连续时间控制输入信号。 在采样数据控制器中，控制信号仅在采样时刻更新，并在采样间隔内保持恒定。这种阶梯式的控制信号可能会干扰系统的稳定性，因此，为了使系统具有更好的性能，采样数据系统得到了广泛的研究。 近年来，马尔可夫跳跃神经网络因其能够很好地模拟信息锁存现象以及环境突然变化、组件随机故障等突发情况而受到广泛关注。不过，以往的研究中，很多模型假设所有模式共享相同的时间延迟，但在马尔可夫系统中，不同的系统模型不仅具有不同的系统参数，还具有不同的时间延迟。因此，为了获得更保守性更小的采样数据同步条件，有必要建立包含更多依赖于模式的矩阵的Lyapunov - Krasovskii泛函。 #### 2. 符号说明 |符号|含义| | ---- | ---- | |$\mathbb{R}^n$|$n$维欧几里得空间| |$\mathbb{R}^{n\times n}$|所有$n\times n$实矩阵的集合| |$\|\cdot\|$|欧几里得向量范数| |$\otimes$|Kronecker积| |$X^T$|矩阵$X$的转置| |$X\geq0$（$X\lt0$）|矩阵$X$是实对称半正定（负定）矩阵| |$I_n$|$n$维单位矩阵| |$\lambda_{min}(A)$|矩阵$A$的最小特征值| |$\begin{pmatrix}X & Y\\* & Z\end{pmatrix}$|表示$\begin{pmatrix}X & Y\\Y^T & Z\end{pmatrix}$| |$\mathcal{E}\{\cdot\}$|数学期望| |$\tilde{E}_i$|块矩阵，如$\tilde{E}_i = [0_{n\times n}, \cdots, 0_{n\times n}, I_{n\times n}, 0_{n\times n}, \cdots, 0_{n\times n}]$，其中$I_{n\times n}$在第$i$个位置| #### 3. 预备知识 ##### 3.1 马尔可夫过程 设$\{r_t, t\geq0\}$是概率空间上的右连续马尔可夫过程，取值于有限状态空间$\mathcal{G} = \{1, 2, \cdots, N\}$，其生成元为$\Pi = (\pi_{ij}), i, j\in\mathcal{G}$，满足： \[ \Pr\{r_{t + \Delta t} = j | r_t = i\} = \begin{cases} \pi_{ij}\Delta t + o(\Delta t), & i\neq j\\ 1 + \pi_{ii}\Delta t + o(\Delta t), & i = j \end{cases} \] 其中$\Pi\in\mathbb{R}^{N\times N}$，$\Delta t\gt0$，$o(\Delta t)$是$\Delta t$的高阶无穷小，且$\lim\limits_{\Delta t\to0}\frac{o(\Delta t)}{\Delta t} = 0$，$\pi_{ij}\geq0 (i\neq j)$是从时刻$t$的模式$i$到时刻$t + \Delta t$的模式$j$的转移率，$\pi_{ii} = -\sum\limits_{j = 1, j\neq i}^{N}\pi_{ij}$。 ##### 3.2 马尔可夫耦合神经网络模型 考虑如下具有依赖于模式的时变延迟的$N$个马尔可夫耦合神经网络： \[ \dot{y}_k(t) = -C(r_t)y_k(t) + A(r_t)g(y_k(t)) + B(r_t)g(y_k(t - \tau(t, r_t))) + I(t) + a_1\sum\limits_{l = 1}^{N}G_{kl}^{(1)}(r_t)\Gamma_1(r_t)y_l(t) + a_2\sum\limits_{l = 1}^{N}G_{kl}^{(2)}(r_t)\Gamma_2(r_t)y_l(t - \tau(t, r_t)) + a_3\sum\limits_{l = 1}^{N}G_{kl}^{(3)}(r_t)\Gamma_3(r_t)\int_{t - \tau(t, r_t)}^{t}y_l(s)ds + u_k(t, r_t) \] 其中： - $y_k(t) = [y_{k1}(t), y_{k2}(t), \cdots, y_{kn}(t)]^T\in\mathbb{R}^n$是第$k$个节点的状态向量。 - $C(r_t) = \text{diag}\{c_1(r_t), c_2(r_t), \cdots, c_n(r_t)\}$是对角矩阵，对角元素为正。 - $A(r_t) = (a_{ij}(r_t))_{n\times n}$和$B(