采样与混叠：数字信号处理的核心概念

### 采样与混叠：数字信号处理的核心概念 #### 1. 引言 在数字信号处理领域，计算机处理的是数字或数字集合。因此，像正弦信号这样的连续波形必须转换为向量或数字流，以便进行数字信号处理。常见的方法是按照恒定速率对连续时间信号进行采样，例如每秒采样48000次。那么，一个关键问题随之而来：每秒需要多少个数字才能充分表示一个连续时间信号呢？对于恒定速率采样，这个问题归结为找到最小采样率。 #### 2. 采样基础 连续时间信号通常用时间的函数 \(x(t)\) 来数学表示，其中 \(t\) 是实数，并且假设 \(x(t)\) 的任何值也是实数，这类信号也常被称为模拟信号。而离散时间信号则用索引数字序列来表示，记为 \(x[n]\)，其中 \(n\) 是整数索引，表示序列中值的顺序。 获取离散时间信号有以下两种方式： - **对连续时间信号进行采样**：在等间隔的时间点 \(t_n = nT_s\) 对连续时间信号 \(x(t)\) 进行采样，得到 \(x[n] = x(nT_s)\)，\(-\infty < n < \infty\)。这里 \(T_s\) 是采样间隔，也可以用采样率 \(f_s = \frac{1}{T_s}\) 表示。例如，语音或音频等自然产生的信号就是连续变化的模拟信号，\(x[n]\) 的各个值被称为连续时间信号的样本。这种采样操作可以看作是一个系统，其输入是连续时间信号，输出是离散时间信号，用理想连续 - 离散（C - to - D）转换器表示，如图 1 所示： ```mermaid graph LR A[x(t)] --> B(Ideal C-to-D Converter) B --> C[x[n] = x(nTs)] B -->|Ts| A ``` 图 1：理想连续 - 离散（C - to - D）转换器的框图表示 实际的硬件模拟 - 数字（A - to - D）转换器由于存在诸如幅度量化、采样时间抖动等问题，只能近似理想 C - to - D 转换器的完美采样。但通过精心设计，可以使这些因素的影响忽略不计。 - **直接从公式计算**：例如 \(w[n] = n^2 - 5n + 3\)，它对应于索引 \(n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \cdots\) 的值序列为 \(\{3, -1, -3, -3, -1, 3, 9, \cdots\}\)。虽然这个序列可能没有对应的实际物理信号被采样，但我们仍然将序列的各个值称为样本。 当绘制离散时间信号时，通常使用茎状图（stem plot），它能清晰地显示离散时间信号仅在整数索引处有值，在索引之间信号未定义。 #### 3. 正弦信号采样 正弦信号是存在于计算机外部“真实世界”的连续时间信号，并且可以用简单的数学公式表示。因此，我们以正弦信号为基础来研究采样。 对形式为 \(A \cos(\omega t + \phi)\) 的正弦信号进行采样，得到： \[x[n] = x(nT_s) = A \cos(\omega nT_s + \phi) = A \cos(\hat{\omega} n + \phi)\] 其中，\(\hat{\omega}\) 定义为归一化弧度频率： \[\hat{\omega} \stackrel{\text{def}}{=} \omega T_s = \frac{\omega}{f_s}\] \(\hat{\omega}\) 是离散时间信号 \(x[n]\) 的离散时间频率，它是连续时间弧度频率相对于采样频率的归一化版本，单位为弧度，是无量纲的。 例如，当 \(\omega = 200\pi\) rad/s，\(T_s = 0.5\) ms 时，\(\hat{\omega} = 0.1\pi\) rad；当 \(\omega = 1000\pi\) rad/s，\(T_s = 0.1\) ms 时，\(\hat{\omega}\) 仍然等于 \(0.1\pi\) rad。这表明一旦从 \(x(t)\) 中获取样本，时间尺度信息就不再是信号的一部分，离散时间信号 \(x[n]\) 只是一个数字序列，这些数字本身不包含获取它们时所使用的采样周期 \(T_s\) 的信息。 下面通过两个具体的采样例子来说明： - 对于连续时间正弦信号 \(x(t) = \cos(200\pi t)\)，频率 \(f_0 = 100\) Hz。当采样周期 \(T_s = 0.5\) ms 时，采样率 \(f_s = \frac{1}{T_s} = 2000\) 样本/秒，得到样本序列 \(x[n] = \cos(0.1\pi n)\)，离散时间弧度频率 \(\hat{\omega}_0 = 0.1\pi\)。在这种情况下，每个信号周期有 20 个样本值，从离散时间图上看，样本值似乎足以直观地重建连续时间余弦波，但如果不知道采样率，就无法确定模拟频率 \(\omega\) 的值。 - 当以较低的采样率 \(f_s = 500\) 样本/秒对 100 Hz 的正弦信号进行采样时，得到样本序列 \(x[n] = \cos(0.4\pi n)\)，离散时间弧度频率 \(\hat{\omega} = 0.4\pi\)。此时，每个连续时间信号周期只有 5 个样本值，如果不叠加原始波形，很难辨别原始连续时间正弦波的精确波形。 #### 4. 混叠概念 混叠是指两个不同的离散时间正弦公式可以定义相同的信号值。例如，\(x_1[n] = \cos(0.4\pi n)\) 和 \(x_2[n] = \cos(2.4\pi n)\)，根据三角函数恒等式 \(\cos(\theta + 2\pi) = \cos(\theta)\)，可得 \(x_2[n] = \cos(2.4\pi n) = \cos(0.4\pi n + 2\pi n) = \cos(0.4\pi n)\)，即 \(x_2[n]\) 的图形与 \(x_1[n]\) 相同，这种现象称为混叠。 对于频率为 \(\hat{\omega}_0\) 的正弦信号，其所有混叠频率的一般公式为： \[\hat{\omega}_0, \hat{\omega}_0 + 2\pi\ell, 2\pi\ell - \hat{\omega}_0\quad (\ell = \text{整数})\] 因为以下信号对于所有 \(n\) 具有完全相同的值： \[A \cos(\hat{\omega}_0 n + \phi) = A \cos((\hat{\omeg