非负张量分解：原理、方法与应用

### 非负张量分解：原理、方法与应用 在数据处理和分析领域，张量分解是一种强大的工具，它能够揭示数据中的潜在结构和模式。非负张量分解（Nonnegative Tensor Factorization, NTF）作为张量分解的一个重要分支，在多通道时频分析、源分离、协同过滤等多个领域有着广泛的应用。本文将深入探讨非负张量分解的相关理论和方法，包括卷积NTF、稀疏非负张量因子反卷积以及概率NTF等内容。 #### 1. 卷积非负张量分解（Convolutive NTF） 卷积NTF通过将原始张量在三个不同的维度上进行矩阵化或扁平化，得到三个矩阵 $X^{(1)}$、$X^{(2)}$、$X^{(3)}$，其近似关系如下： - $X^{(1)} \approx \hat{X}^{(1)} = C \left(\sum_{\varphi,\tau} \downarrow_{\tau} W_{\varphi} \star \downarrow_{\varphi} B_{\tau} \right)^{\top}$ - $X^{(2)} \approx \hat{X}^{(2)} = \sum_{\varphi,\tau} \downarrow_{\varphi} B_{\tau} \downarrow_{\tau} W_{\varphi} \star C^{\top}$ - $X^{(3)} \approx \hat{X}^{(3)} = \sum_{\varphi,\tau} \downarrow_{\tau} W_{\varphi} \downarrow_{\varphi} B_{\tau} \star C^{\top}$ 其中，$\downarrow_{\varphi}$ 表示向下移位算子，将矩阵的每一行向下移动 $\varphi$ 个位置，并在上方补零。NTF问题可以通过最小化基于这些矩阵的散度度量 $D(X^{(p)} \parallel \hat{X}^{(p)})$ 来解决，常用的散度度量包括平方欧几里得距离 $D_{EU}(X^{(p)} \parallel \hat{X}^{(p)})$ 和Kullback–Leibler散度 $D_{KL}(X^{(p)} \parallel \hat{X}^{(p)})$。 ##### 1.1 平方欧几里得距离 当使用平方欧几里得距离作为目标函数时，即 $D_{EU}(X^{(p)} \parallel \hat{X}^{(p)}) = \|X^{(p)} - \hat{X}^{(p)}\|^2 = \sum_{i,j} ([X^{(p)}]_{ij} - [\hat{X}^{(p)}]_{ij})^2$，三个分解矩阵 $C$、$B_{\tau}$ 和 $W_{\varphi}$ 的乘法更新规则如下： - $C \leftarrow C \odot \frac{X^{(1)}Z}{CZ^{\top}Z}$ - $B_{\tau} \leftarrow B_{\tau} \odot \frac{\sum_{\varphi} \uparrow_{\varphi} X^{(2)} \downarrow_{\tau} W_{\varphi} \star C}{\sum_{\varphi} \uparrow_{\varphi} \hat{X}^{(2)} \downarrow_{\tau} W_{\varphi} \star C}$ - $W_{\varphi} \leftarrow W_{\varphi} \odot \frac{\sum_{\tau} \uparrow_{\tau} X^{(3)} (\downarrow_{\varphi} B_{\tau} \star C)}{\sum_{\tau} \uparrow_{\tau} \hat{X}^{(3)} (\downarrow_{\varphi} B_{\tau} \star C)}$ 其中，$A \odot B$ 表示矩阵 $A$ 和 $B$ 的逐元素乘法，$A / B$ 表示矩阵 $A$ 和 $B$ 的逐元素除法，辅助矩阵 $Z$ 定义为 $Z \triangleq \sum_{\varphi,\tau} \downarrow_{\varphi} B_{\tau} \star \downarrow_{\tau} W_{\varphi}$。同时，建议对矩阵 $C$ 和 $B_{\tau}$ 进行归一化，使其具有单位范数。 ##### 1.2 Kullback–Leibler散度 当使用Kullback–Leibler散度作为目标函数时，即 $D_{KL}(X^{(p)} \parallel \hat{X}^{(p)}) = \sum_{i,j} \left([X^{(p)}]_{ij} \log \frac{[X^{(p)}]_{ij}}{[\hat{X}^{(p)}]_{ij}} + [\hat{X}^{(p)}]_{ij} - [X^{(p)}]_{ij} \right)$，三个分解矩阵的乘法更新规则如下： - $C \leftarrow C \odot \frac{X^{(1)}}{CZ^{\top}Z} \frac{1}{Z}$ - $B_{\tau} \leftarrow B_{\tau} \odot \frac{\sum_{\varphi} \uparrow_{\varphi} \left(\frac{X^{(2)}}{\hat{X}^{(2)}} \right) \downarrow_{\tau} W_{\varphi} \star C}{\sum_{\varphi} 1 \downarrow_{\tau} W_{\varphi} \star C}$ - $W_{\varphi} \leftarrow W_{\varphi} \odot \frac{\sum_{\tau} \uparrow_{\tau} \left(\frac{X^{(3)}}{\hat{X}^{(3)}} \right) (\downarrow_{\varphi} B_{\tau} \star C)}{\sum_{\tau} 1 (\downarrow_{\varphi} B_{\tau} \star C)}$ 同样，矩阵 $C$ 和 $B_{\tau}$ 需要进行归一化处理。 #### 2. 稀疏非负张量因子反卷积（Sparse Nonnegative Tensor Factor Deconvolution） 为了解决过完备表示的问题，可以在权重参数 $W$ 上施加稀疏约束，从而得到稀疏非负张量因子反卷积的解。通过最小化正则化的散度度量 $D(X^{(p)} \parallel \hat{X}^{(p)}) + \lambda \|W\|_1$，其中 $\lambda$ 是正则化参数，$\|W\|_1$ 是 $W$ 的 $\ell_1$ 范数。 ##### 2.1 平方欧几里得距离 以平方欧几里得距离作为学习目标时，三个分解矩阵的乘法更新规则如下： - $C \leftarrow C \odot \frac{X^{(1)}Z + C \text{diag}(1((C Z^{\top} Z) \odot C))}{C Z^{\top} Z + C \text{diag}(1((X^{(1)}Z) \odot C))}$ - $B_{\tau} \leftarrow B_{\tau} \odot \frac{\sum_{\varphi} \uparrow_{\varphi} X^{(2)} \downarrow_{\tau} W_{\varphi} \star C + B_{\tau} \text{diag}(1(\sum_{\tau} \uparrow_{\varphi} \hat{X}^{(2)} \downarrow_{\tau} W_{\varphi} \star C) \odot B_{\tau})}{\sum_{\varphi} \uparrow_{\varphi} \hat{X}^{(2)} \downarrow_{\tau} W_{\varphi} \star C + B_{\tau} \text{diag}(1(\sum_{\tau} \uparrow_{\varphi} X^{(2)} \downarrow_{\tau} W_{\varphi} \star C) \odot B_{\tau})}$ - $W_{\varphi} \leftarrow W_{\varphi} \odot \frac{\sum_{\tau} \uparrow_{\tau} X^{(3)} (\downarrow_{\varphi} B_{\tau} \star C)}{\sum_{\tau} \uparrow_{\tau} \hat{X}^{(3)} (\downarrow_{\varphi} B_{\tau} \star C)} + \lambda$ ##### 2.2 Kullback–Leibler散度 以Kullback–Leibler散度作为学习目标时，稀疏NTF2D的乘法更新规则如下： - $C \leftarrow C \odot \frac{X^{(1)}}{C Z^{\top} Z + C \text{diag}(1((1Z) \odot C))} \frac{1}{Z + C \text{diag}(1(\left(\frac{X^{(1)}}{C Z^{\top} Z}\right) \odot C))}$ - $B_{\tau} \leftarrow B_{\tau} \odot \frac{\sum_{\varphi} \uparrow_{\varphi} \left(\frac{X^{(2)}}{\hat{X}^{(2)}} \right) \downarrow_{\tau} W_{\varphi} \star C + B_{\tau} \text{diag}(1(\sum_{\tau} 1(\downarrow_{\tau} W_{\varphi} \star