自适应耦合振荡器网络中的同步模式与稳定性分析

### 自适应耦合振荡器网络中的同步模式与稳定性分析 在复杂系统的研究中，振荡器网络的同步现象一直是一个重要的研究领域。本文将探讨自适应耦合振荡器网络中出现的多种状态，以及这些状态背后的原因，并对相关模型的稳定性进行分析。 #### 1. 自适应耦合振荡器网络中的多种状态 在自适应耦合振荡器网络中，我们观察到了多种状态，包括同步、频率聚类、孤立状态和类嵌合体状态。这些状态的多样性源于耦合权重的适应性。这种耦合结构的灵活性使得每个单独的振荡器能够间接调整自身的频率，从而导致不同频率聚类的形成。 频率适应也是具有惯性的Kuramoto相位振荡器的一个特性，而Kuramoto相位振荡器是电网理论中的一个关键模型。引入惯性使振荡器能够直接调整其频率。值得注意的是，频率聚类状态在具有惯性的Kuramoto相位振荡器网络中也被广泛观察到。虽然两个系统中都存在频率适应，但实现方式不同。因此，一个有趣的开放性问题是，是否有可能将自适应网络上的相位振荡器模型与具有惯性的相位振荡器模型联系起来。 #### 2. 一聚类状态的证明 在全局耦合自适应网络中，我们需要证明一些关于一聚类状态的命题。首先，有一个初步的引理： - **引理A.1.1**：对于一个锁相解φ(t)，R2(φ(t)) = 1对于所有t成立，当且仅当φ(t)是同相或反相同步解。 - **证明**：从表4.1可知，对于所有同相和反相解，R2(a) = 1/N * |∑(j = 1到N) ei2aj| = 1。现在证明相反的情况。如果R2(a) = 1，那么对于所有j，ei2aj = ei2a1 = 1，因为|∑(j = 1到N) ei2aj| ≤ ∑(j = 1到N) |ei2aj| = N。因此，aj ∈ {0, π}。这意味着如果所有aj具有相同的值，则锁相解是同相的；否则是反相的。 接下来是命题4.1.1的证明： - **命题4.1.1的证明**：将(4.3) - (4.4)代入(2.25) - (2.26)，我们得到˙κij = 0和 ˙φi(t) = ω = 1/N * ∑(j = 1到N) sin(ai - aj + β) sin(ai - aj + α) = 1/2 cos(α - β) - 1/2 Re [e - i(2ai + α + β) Z2(a)]。 因此，(4.3) - (4.4)是解，当且仅当等式右边的表达式与振荡器的索引i = 1, ..., N无关。特别地，对于任何ai的选择，复二阶参数要么为零，要么可以写成Z2(a) = R2(a) e - iγ。因此，根据上述等式，ai必须使得R2(a) = 0或cos(2ai + α + β + γ)与i无关。对于任何α, β和γ，后一个要求等价于2ai ∈ {0, - 2(α + β + γ)}。这里，我们利用了(2.25) - (2.26)的相移对称性，令2a1 = 0。由于复二阶参数的定义，γ的值取决于相位滞后ai的选择。假设一部分q1 = Q1/N的振荡器的2ai = 0（Q1 ∈ {1, ..., N - 1}），另一部分振荡器q2 = 1 - q1的2ai = - 2(α + β + γ)，我们得到 q1 + q2 e - i2(α + β) e - i2γ = R2(a) e - iγ。 这等价于以下方程： q1 cos(γ) + q2 cos(γ + 2θ) = R2(a)， q1 sin(γ) - q2 sin(γ + 2θ) = 0。 其中θ = α + β。第一个方程给出了二阶参数的值，而第二个方程确定了γ。如果我们设q2 = 0，即q1 = 1，那么γ = 0和γ = π将是上述方程的解，因此对于所有i = 1, ..., N，2ai = 0。注意，对于γ的两个值，复二阶参数的值相同，Z2(a) = 1。这个解对应于R2(a) = 1。在任何其他情况下，最后一个方程可以写成sin(γ - ν) = 0的形式，它有两个解γ = ν, ν + π。在确定2ai时，这两个解是一致的。将上述方程写成 1/C * ((q1 - (1 - q1) cos(2θ)) sin(γ) - (1 - q1) sin(2θ) cos(γ)) = 0 其中归一化常数C定义为 C = √((q1 - (1 - q1) cos(2θ))^2 + (1 - q1)^2 sin^2(2θ))， 得到以下方程： sin(ν) = sin(2θ) / √((q1 / (1 - q1))^2 + 1 - 2(q1 / (1 - q1)) cos(2θ))， cos(ν) = (q1 - (1 - q1) cos(2θ)) / √((1 - q1)^2 + q1^2 - 2q1(1 - q1) cos(2θ))。 因此，考虑反函数arcsin : [- 1, 1] → [- π/2, π/2]应用于上述方程，确定ν为ν'或π - ν'，其中ν' := arcsin(sin(ν))，sin(ν)如上述方程所示。第二个关于cos(ν)的方程然后确定ν取其中一个值。因此，对于每个q1 ∈ [0, 1)，γ存在且唯一。考虑到对于