自适应复杂网络结构中的同步研究

# 自适应复杂网络结构中的同步研究 ## 1. 自适应耦合振荡器网络同步稳定性研究 在研究复杂网络中自适应耦合振荡器的同步解稳定性时，经典的主稳定性方法被推广应用。此前，主稳定性方法已在多种场景中得到广泛应用和推广，例如用于理解集群同步状态的稳定性、研究具有单延迟或分布式延迟的系统，甚至适用于不连续动态系统等。不过，以往的推广要么是针对静态拓扑结构，要么未考虑节点和耦合动态之间的相互依赖关系。 在自适应网络中，拓扑结构随时间变化且依赖于网络节点的状态，而节点动态又依赖于自适应耦合权重所决定的耦合结构。这种微妙的相互作用使得为自适应网络推导主稳定性函数时需要采用全新的理论方法。于是，一种新的主稳定性方法被提出，为自适应网络提供了一种非标准的扩展。通过调整耦合权重来研究网络同步只是该新方法的一个应用领域。 ### 1.1 主稳定性方法在自适应耦合相位振荡器模型中的应用 主稳定性方法进一步应用于自适应耦合相位振荡器的范式模型。针对不同的适应规则，即控制参数β的不同取值，展示了主稳定性函数的多种形式。在主稳定性函数中，观察到了能导致稳定同步动态的有界区域，这些区域被称为稳定性岛。通过三次曲线描述了稳定性岛的结构和形成，并推导出了其存在准则。此外，还从分析上给出了系统参数的充分条件，这些条件意味着在无向背景网络结构上同步解的稳定性。 ### 1.2 稳定性岛的影响 利用同步状态相对于耦合常数σ的绝热延续，发现稳定性岛的存在会引发多集群状态和类嵌合体状态的出现。通过数值模拟展示了某些多集群和类嵌合体状态的稳定存在，并使用主稳定性函数进行了分析解释。这不仅补充了相关研究结果，还强调了集群大小和网络结构在复杂同步模式稳定性方面的微妙相互作用。 ## 2. 多层自适应网络中的同步模式 多层自适应网络能够产生大量新颖的同步模式。通过复用自适应网络，可以稳定在相应单层网络中不稳定的部分同步模式，如相位集群和更复杂的集群状态，甚至能产生在单层情况下对于所选参数不存在的状态。研究使用了经典的Kuramoto相位振荡器模型来描述局部动态。 ### 2.1 多层自适应网络模型 一个具有L层，每层由N个相同的自适应耦合相位振荡器组成的通用多层网络可以用以下方程描述： \(\dot{\varphi}_{\mu i} = \omega - \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} \kappa_{\mu ij} \sin(\varphi_{\mu i} - \varphi_{\mu j} + \alpha_{\mu \mu}) - \sum_{\nu=1,\nu\neq\mu}^{L} \sigma_{\mu \nu} \sin(\varphi_{\mu i} - \varphi_{\nu i} + \alpha_{\mu \nu})\) \(\dot{\kappa}_{\mu ij} = -\epsilon (\kappa_{\mu ij} + \sin(\varphi_{\mu i} - \varphi_{\mu j} + \beta_{\mu}))\) 其中，\(\varphi_{\mu i} \in [0, 2\pi)\)表示第\(\mu\)层中第\(i\)个振荡器的相位，\(\omega\)是自然频率。层内耦合权重\(\kappa_{\mu ij} \in [-1, 1]\)是自适应确定的，而层间耦合权重\(\sigma_{\mu \nu} \geq 0\)是固定的。参数\(\alpha_{\mu \nu}\)是相互作用的相位滞后，适应率\(0 < \epsilon \ll 1\)是一个小参数，用于分离耦合权重的慢动态和振荡系统的快动态时间尺度。 该模型具有一些重要性质： - 由于方程的平移对称性，可将\(\omega\)设为零，即考虑共旋转框架\(\varphi \to \varphi + \omega t\)。 - 由于存在吸引区域\(G \equiv \{(\varphi_{\mu i}, \kappa_{\mu ij}) : \varphi_{\mu i} \in (0, 2\pi], |\kappa_{\mu ij}| \leq 1, i, j = 1, \ldots, N, \mu = 1, \ldots, L\}\)，可将耦合权重的范围限制在\(-1 \leq \kappa_{ij} \leq 1\)。 - 基于模型的参数对称性\((\alpha, \beta, \varphi, \kappa) \to (-\alpha, \pi - \beta, -\varphi, \kappa)\)和