MATLAB曲线图与优化：可视化优化算法收敛过程，追踪算法进展

 # 1. MATLAB曲线图基础** MATLAB曲线图是用于可视化和分析数据的强大工具。它们可以帮助您理解数据的模式和趋势，并识别异常值或异常情况。 MATLAB提供了各种函数来创建曲线图，包括`plot()`、`semilogy()`和`semilogx()`。这些函数允许您绘制数据点、拟合曲线和添加标签和标题。 曲线图可以定制以满足您的特定需求。您可以更改线宽、颜色、标记类型和刻度范围。您还可以添加图例、注释和文本框以提供额外的信息。 # 2.1 优化算法的原理与可视化 ### 2.1.1 梯度下降法 梯度下降法是一种迭代优化算法，用于最小化目标函数。它通过沿目标函数梯度的负方向迭代移动来更新变量，从而找到函数的局部极小值。 **原理：** ```matlab % 目标函数 f = @(x) x^2 + 2*x + 3; % 初始值 x = 0; % 学习率 alpha = 0.1; % 迭代次数 num_iterations = 100; for i = 1:num_iterations % 计算梯度 gradient = 2*x + 2; % 更新变量 x = x - alpha * gradient; end ``` **可视化：** 可以使用曲线图可视化梯度下降法的收敛过程。 ```matlab % 绘制目标函数 x_values = linspace(-10, 10, 100); y_values = f(x_values); plot(x_values, y_values, 'b', 'LineWidth', 2); % 绘制梯度下降路径 hold on; plot(x_values, x_values.^2 + 2*x_values + 3, 'r', 'LineWidth', 2); % 绘制迭代点 plot(x, f(x), 'ro', 'MarkerSize', 10); xlabel('x'); ylabel('f(x)'); legend('目标函数', '梯度下降路径', '迭代点'); ``` ### 2.1.2 牛顿法 牛顿法是一种二阶优化算法，用于最小化目标函数。它通过使用目标函数的二阶导数（海森矩阵）来近似目标函数，从而找到函数的局部极小值。 **原理：** ```matlab % 目标函数 f = @(x) x^2 + 2*x + 3; % 初始值 x = 0; % 学习率 alpha = 0.1; % 迭代次数 num_iterations = 100; for i = 1:num_iterations % 计算梯度 gradient = 2*x + 2; % 计算海森矩阵 hessian = 2; % 更新变量 x = x - alpha * (hessian \ gradient); end ``` **可视化：** 可以使用曲线图可视化牛顿法的收敛过程。 ```matlab % 绘制目标函数 x_values = linspace(-10, 10, 100); y_values = f(x_values); plot(x_values, y_values, 'b', 'LineWidth', 2); % 绘制牛顿法路径 hold on; plot(x_values, x_values.^2 + 2*x_values + 3, 'r', 'LineWidth', 2); % 绘制迭代点 plot(x, f(x), 'ro', 'MarkerSize', 10); xlabel('x'); ylabel('f(x)'); legend('目标函数', '牛顿法路径', '迭代点'); ``` # 3.1 绘制优化算法收敛曲线 #### 3.1.1 使用plot()函数 `plot()`函数是MATLAB中用于绘制二维曲线的基本函数。它接受两个向量作为输入：x向量（横轴值）和y向量（纵轴值）。 ```matlab % 定义x和y数据 x = 1:100; y = sin(x); % 使用plot()函数绘制曲线 plot(x, y); % 添加标题和标签 title('正弦函数曲线'); xlabel('x'); ylabel('sin(x)'); ``` **逻辑分析：** * `plot(x, y)`：使用`plo