多阶段线性规划：分阶段决策的线性规划模型，解决复杂问题

 # 1. 多阶段线性规划简介 多阶段线性规划 (MPLP) 是一种优化问题，其中决策在多个阶段进行，每个阶段都基于前一阶段的决策。MPLP 的目标是找到一组决策，使一个线性目标函数在所有阶段上的总和最大化或最小化。 MPLP 广泛应用于各种实际问题中，例如投资组合优化、生产计划和物流配送。在这些问题中，决策者需要在多个时间段内做出决策，并且每个决策都会影响后续阶段的可用选项和目标函数值。 # 2. 多阶段线性规划的数学模型 ### 2.1 线性规划模型基础 **线性规划模型**是一种数学模型，用于解决具有以下特征的优化问题： * **线性目标函数：**目标函数必须是一个线性函数，即变量的线性组合。 * **线性约束：**约束条件必须是线性方程或不等式，即变量的线性组合等于或小于/大于某个常数。 * **非负变量：**所有决策变量都必须是非负的。 **标准形式的线性规划模型：** ``` 最大化/最小化 z = c^T x 约束条件： Ax ≤ b x ≥ 0 ``` 其中： * z 是目标函数值 * x 是决策变量向量 * c 是目标函数系数向量 * A 是约束矩阵 * b 是约束向量 ### 2.2 多阶段线性规划模型的扩展 **多阶段线性规划模型**是线性规划模型的扩展，它具有以下特点： * **多阶段：**问题被分解成多个阶段，每个阶段都有自己的目标函数和约束条件。 * **阶段间联系：**各阶段的决策变量之间存在联系，即后一阶段的决策变量可能依赖于前一阶段的决策。 * **可行性：**每个阶段的决策都必须满足该阶段的约束条件，并且所有阶段的决策必须共同满足整个问题的约束条件。 **多阶段线性规划模型的数学形式：** ``` 最大化/最小化 z = ∑_{t=1}^T z_t 约束条件： Ax_t ≤ b_t, ∀t = 1, 2, ..., T x_t ≥ 0, ∀t = 1, 2, ..., T x_{t+1} = D_t x_t, ∀t = 1, 2, ..., T-1 ``` 其中： * z_t 是第 t 阶段的目标函数值 * x_t 是第 t 阶段的决策变量向量 * A_t 是第 t 阶段的约束矩阵 * b_t 是第 t 阶段的约束向量 * D_t 是第 t 阶段到第 t+1 阶段的决策变量转换矩阵 **代码示例：** ```python import numpy as np from scipy.optimize import linprog # 定义阶段数 T = 3 # 定义目标函数系数向量 c = np.array([1, 2, 3]) # 定义约束矩阵 A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]) # 定义约束向量 b = np.array([10, 15, 20]) # 定义决策变量转换矩阵 D = np.array([[0.5, 0.2, 0.3], [0.4, 0.6, 0.5], [0.1, 0.3, 0.6]]) # 求解多阶段线性规划问题 for t in range(T): # 定义阶段 t 的约束矩阵和约束向量 A_t = A[t * 3:(t + 1) * 3, :] b_t = b[t * 3:(t + 1) * 3] # 定义阶段 t 的决策变量转换矩阵 D_t = D[t * 3:(t + 1) * 3, :] # 求解阶段 t 的线性规划问题 res = linprog(c[t * 3:(t + 1) * 3], A_eq=A_t, b_eq=b_t, bounds=(None, None)) # 更新决策变量 x_t = res.x # 打印阶段 t 的决策变量 print("决策变量 x{}: {}".format(t + 1, x_t)) ``` **代码逻辑分析：** * 循环遍历每个阶段 t。 * 对于每个阶段 t，定义该阶段的约束矩阵 A_t、约束向量 b_t 和决策变量转换矩阵 D_t。 * 使用 scipy.optimize.linprog 求解该阶段的线性规划问题。 * 更新决策变量 x_t。 * 打印阶段 t 的决策变量。 # 3.1 分阶段求解算法 分阶段求解算法是求解多阶段线性规划问题的一种经典方法。其基本思想是将多阶段问题分解为一系列单阶段线性规划问题，逐阶段求解。 **算法步骤：** 1. **初始化：**令当前阶段为 1，初始可行解为阶段 1 的可行解。 2. **求解单阶段线性规划：**求解当前阶段的单阶段线性规划问题，得到最优解。 3. **更新状态：**将当前阶段的最优解作为下一阶段的初始可行解。 4. **判断终止：**如果当前阶段是最后一个阶段，则算法终止，否则转到步骤 2。 **代码示例：** ```python import numpy as np from scipy.optimize import linprog def multi_stage_linear_programming(c, A, b, n): """ 分阶段求解多阶段线性规划问题 参数： c: 目标函数系数向量 A: 约束矩阵 b: 约束向量 n: 阶段数 返回： 最优解 """ # 初始化 x = np.zeros(c.shape) for i in range(n): # 求解单阶段线性规划 res = linprog(c[i], A_eq=A[i], b_eq=b[i]) x[i * c.shape[0]:(i + 1) * c.shape[0]] = res.x return x ``` **逻辑分析：** 代码首先初始化一个全 0 的解向量 `x`，然后逐阶段求解单阶段线性规划问题。在每个阶段，代码使用 `scipy.optimize.linprog` 求解单阶段线性规划，并将最优解