递归关系的全面解析与应用
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发布时间: 2025-09-09 00:16:05 阅读量: 5 订阅数: 11 AIGC 


算法问题精解与实战
### 递归关系的全面解析与应用
#### 1. 递归关系基础与主定理
递归关系在算法分析中起着至关重要的作用,它能帮助我们分析算法的时间复杂度。主定理是解决递归关系的重要工具,只要满足 \(f (n) = \Theta(n^k)\)(其中 \(k \geq 0\)),主定理就一定适用。
例如,对于 \(T (n) = T (\frac{4n}{5}) + \log^2 n\):
- 这里 \(a = 1\),\(b = \frac{5}{4}\),\(f (n) = \log^2 n\),\(n^{\log_b(a)} = 1\)。\(f (n)\) 不是多项式级别的大于 \(n^{\log_b(a)}\),但规则 4 适用(\(k = 2\)),所以 \(T (n) = \Theta(\log^3(n))\)。
- 再如 \(T (n) = 2T (\frac{n}{4}) + \sqrt{n} \log \log(n)\),\(a = 2\),\(b = 4\),\(f (n) = \sqrt{n} \log \log n\),\(n^{\log_b(a)} = n^{\frac{1}{2}}\),\(f (n)\) 不是多项式级别的大于 \(n^{\log_b(a)}\),主定理不适用。
#### 2. 迭代法求解递归关系
迭代法是通过不断迭代递推公式,逐步找到通项公式的方法。以下是一些简单递归关系的例子及求解过程:
|序号|递归关系|求解过程|
| ---- | ---- | ---- |
|1| \(T(1) = d\),\(n > 1\) 时,\(T(n) = T(n–1) + c\) | \(T_n = T_{n−1} + c = (T_{n−2} + c) + c = T_{n−2} + 2c = \cdots = T_1 + (n - 1)c = d + (n - 1)c\) |
|2| \(T(0) = 0\),\(n > 1\) 时,\(T(n) = 2T(n–1) + 1\) | \(T (n) = 2 (T (n - 1)) + 1 = 2^2 (T (n - 2)) + (2 + 1) = \cdots = 2^n (T (0)) + (2^{n - 1} + \cdots + 2 + 1) = 2^n - 1\) |
|4| \(T(1) = 1\),\(n > 1\) 时,\(T(n) = 2T(n–2) + 1\) | \(T (n) = 2T (n - 2) + 1 = 2^2T (n - 3) + (2 + 1) = \cdots = 2^nT (n - 2) + (2^{n - 1} + \cdots + 2 + 1)\) |
#### 3. 汉诺塔问题的递归分析
汉诺塔问题的算法如下:
```c
void Hanoi(int n, A, B, C)
{
if (n == 1) move a disk from A to C
else {
Hanoi(n - 1, A, C, B)
move a disk from A to C
Hanoi(n - 1, B, A, C)
}
}
```
设 \(T(n)\) 表示该函数对于 \(n\) 的调用次数,递归函数为:
\[T (n) =
\begin{cases}
0, & n = 0 \\
2T (n - 1) + 1, & n > 1
\end{cases}
\]
通过迭代法求解:
\[
\begin{align*}
T(n) &= 2T(n - 1) + 1\\
&= 2(2T(n - 2) + 1) + 1 = 2^2T(n - 2) + 2 + 1\\
&= \cdots\\
&= 2^nT(0) + 2^{n - 1} + \cdots + 2 + 1\\
&= 2^n - 1
\end{align*}
\]
所以汉诺塔问题的时间复杂度为 \(O(2^n)\)。
#### 4. 常系数齐次线性递归方程
对于常系数齐次线性递归方程,我们可以通过特征函数来求解。例如:
- 对于 \(T(n) = 2T(n - 1) - 3T(n - 2)\),特征方程为 \(x^2 - 2x + 3 = 0\),解得 \(x_1 = 1 + \sqrt{2}\),\(x_2 = 1 - \sqrt{2}\),则 \(T(n) = c_1(1 + \sqrt{2})^n + c_2(1 - \sqrt{2})^n\),再根据初始条件 \(T(0) = 1\),\(T(1) = 2\) 确定 \(c_1\) 和 \(c_2\) 的值。
- 斐波那契数列 \(F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)\),特征方程为 \(F^2 - F - 1 = 0\),解得 \(r_1, r_2 = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\),则 \(F(n) = C_1(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n + C_2(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n\),根据 \(F(0) = 1\),\(F(1) = 1\) 确定系数。
以下是部分常系数齐次线性递归方程的求解结果:
|序号|递归方程|特征根|通解|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|18| \(T(n) = 2T(n - 1) - 3T(n -
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