分治法算法详解与实践

# 分治法算法详解与实践 ## 1. 寻找第 k 小元素 ### 1.1 一般方法分析 在一个未排序的数组中寻找第 k 小的元素，有一种方法是通过选择一个枢轴元素对数组进行划分，然后根据枢轴元素的位置递归地在合适的子数组中继续查找。这种方法的最坏时间复杂度是 $O(n^2)$，但平均情况下为 $O(n)$。 设数组 $A$ 的大小为 $n$，整数 $k \leq n$，$T(n, k)$ 表示在数组 $A$ 中找到第 $k$ 小元素的期望时间，$T(n) = \max_k T(n, k)$，可以证明 $T(n) < 4n$。 ### 1.2 特定算法步骤 还有一种更高效的算法来寻找第 k 小元素，步骤如下： 1. 将数组划分为 $n/5$ 个大小为 5 的部分，并找出每个部分的中位数。 2. 递归地找出这些中位数的真实中位数，记为 $m$。 3. 使用 $m$ 作为枢轴，将数组划分为子数组 `LESS` 和 `GREATER`。 4. 在合适的子数组中递归执行上述操作。 以下是将该算法应用于数组 `[12, 13, 0, -3, 15, 43, 57, 31, 47, 20, 1, -5, 42, 14, 15, 8, 100, 32, 85, 41]` 的示例： - 第一步：划分成大小为 5 的子数组，如 `[12, 13, 0, -3, 15]` 等，找出每个子数组的中位数。 - 第二步：递归找出这些中位数的中位数 $m$。 - 第三步：以 $m$ 为枢轴划分原数组。 - 第四步：在合适的子数组中继续递归。 可以证明，该算法在大小为 $n$ 的数组中找到第 $k$ 小元素所需的比较次数为 $O(n)$。设 $T(n)$ 是在大小为 $n$ 的数组中找到第 $k$ 小元素的最大比较次数，则有 $T(n) \leq cn + T(n/5) + T(7n/10)$。 ### 1.3 寻找第二大元素 寻找 $n$ 个元素中的第二大元素，$n + \lceil\log n\rceil - 2$ 次比较就足够了。同时，对于在大小为 $n$（$n > 1$）的数组中寻找第 $k$ 小元素的下界是 $n + (k - 1)\log\frac{n}{k - 1} - k$。 ## 2. 最大公约数（gcd） ### 2.1 递归关系验证 设 $a$ 和 $b$ 是两个正整数，它们的最大公约数（gcd）是能同时整除它们的最大整数。对于以下递归关系： \[ gcd(a, b) = \begin{cases} 2gcd(a/2, b/2) & \text{if } a, b \text{ are even}\\ gcd(a, b/2) & \text{if } a \text{ is odd, } b \text{ is even}\\ gcd((a - b)/2, b) & \text{if } a, b \text{ are odd} \end{cases} \] 需要验证其是否能正确计算 gcd。 ### 2.2 递归算法描述 可以描述一个递归算法来计算 $gcd(a, b)$。当 $a$ 和 $b$ 是 $n$ 位整数时，还可以将该算法与欧几里得算法进行比较。 对于多个参数的 gcd 计算，可以使用递归算法，例如 $gcd(a_0, a_1, \ldots, a_n) = gcd(a_0, gcd(a_1, a_2, \ldots, a_n))$。同时，可以证明对于任意非负整数 $a$ 和任意正整数 $b$，有 $gcd(a, b) = gcd(b, a \bmod b)$。利用 gcd 作为子例程，还可以计算 $n$ 个整数的最小公倍数（lcm）。 ## 3. 归并排序（Mergesort） ### 3.1 合并两个有序数组 设 $A$ 和 $B$ 分别是大小为 $n$ 和 $m$ 的两个有序数组，以下是用于合并这两个数组并形成大小为 $p$（$p = n + m$）的有序数组 $C$ 的算法： ```c void merge (int A[ ], int n, int B[ ], int m, int C[ ], int p) { int i = 0, j = 0, k; for (k = 0; i < n && j < m; k++) if (A[i] < B[j]) C[k] = A[i++]; else C[k] = B[j++]; while (i < n) C[k++] = A[i++]; while (j < m) C[k++] = B[j++]; } ``` #### 3.1.1 合并示例 使用该合并算法合并数组 $A = [3, 5, 7, 8, 10]$ 和 $B = [1, 2, 6, 12, 20]$ 的过程如下： - 比较 $A[0]$ 和 $B[0]$，$1 < 3$，将 $1$ 放入 $C$ 中，$j$ 加 1。 - 比较 $A[0]$ 和 $B[1]$，$2 < 3$，将 $2$ 放入 $C$ 中，$j$ 加 1。 - 比较 $A[0]$ 和 $B[2]$，$3 < 6$，将 $3$ 放入 $C$ 中，$i$ 加 1。 - 以此类推，直到合并完成。 #### 3.1.2 最坏和最好情况分析 - 最坏情况：当两个数组的元素交替比较时，需要的比较次数最多。例如，$A = [1, 3, 5]$，$B = [2, 4, 6]$。 - 最好情况：当一个数组的所有元素都小于另一个数组的所有元素时，需要的比较次数最少。例如，$A = [1, 2, 3]$，$B = [4, 5, 6]$。 在最坏情况下，合并两个长度为 $m$ 和 $n$ 的有序数组需要 $m + n - 1$ 次比较；在最好情况下，需要 $\min(m, n)$ 次比较。 ### 3.2 多合并算法 如果有多个有序数组，可以使用以下两种多合并算法： - 依次合并：逐个合并数组。 - 分治法：将数组分成两组，分别合并后再合并结果。 ### 3.3 高效合并策略 当数组 $A$ 的元素数量远少于数组 $B$ 的元素数量时，可以使用二分查找算法来高效地合并这两个数组。 ### 3.4 归并排序算法实现 归并排序有迭代和递归两种实现方式： #### 3.4.1 迭代算法 可以通过循环的方式实现归并排序，逐步合并子数组。 #### 3.4.2 递归算法 ```c mergeSort(low, high, A[]) { // A[low..high] is an array if (low < high) { mid = ⌊(low + high)/2⌋; mergeSort(low, mid, A); mergeSort(mid + 1, high, A); merge(low, mid, high, A); } } ``` ### 3.5 复杂度分析 设 $T(n)$ 表