MATLAB数值技术：拟合、微分与积分

# MATLAB数值技术：拟合、微分与积分 ## 1. MATLAB交互式拟合工具 ### 1.1 基本拟合工具 MATLAB提供了交互式绘图工具，无需使用命令窗口即可对绘图进行注释，还包含基本曲线拟合、更复杂的曲线拟合和统计工具。 要使用基本拟合工具，可按以下步骤操作： 1. 创建图形： ```matlab x = 0:5; y = [0,20,60,68,77,110]; plot(x,y,'o'); axis([−1,7,−20,120]); ``` 这些命令会生成一个包含示例数据的图形。 2. 激活曲线拟合工具：在图形窗口的菜单栏中选择“Tools” -> “Basic Fitting”，基本拟合窗口将在新窗口中打开。 3. 选择拟合选项：通过勾选线性、三次多项式并显示每个选项的方程，可生成相应的拟合曲线。例如，勾选后可得到图中包含拟合曲线公式的图形。 4. 查看残差图：选择“Error Estimation (Residuals)”的条形图样式和子图位置，可生成第二个图，显示每个数据点与计算线的距离。 5. 保存结果：在基本拟合窗口的右下角有一个箭头按钮，选择该按钮可将结果保存到工作区。 基本拟合工具允许用户选择多种拟合技术，在图形上显示结果，进行数据插值和外推，并将信息发送到工作区。此外，还可从图形菜单栏访问数据统计窗口，该窗口允许根据图形中的数据交互式计算统计函数，如均值和标准差，并将结果保存到工作区。 ### 1.2 曲线拟合工具箱 除了基本拟合工具，MATLAB还包含工具箱，可帮助执行专业的统计和数据拟合操作。特别是曲线拟合工具箱提供了一个应用程序，允许拟合不仅限于多项式的曲线。虽然曲线拟合工具箱单独出售，但学生版软件中包含该工具箱，因此广泛可用。 ## 2. 数值微分 ### 2.1 diff函数 函数 $y = f(x)$ 的导数衡量了 $y$ 随 $x$ 的变化情况。如果能定义 $x$ 和 $y$ 之间的方程，可使用符号工具箱中的函数求导数方程。但如果只有数据，可通过 $y$ 的变化量除以 $x$ 的变化量来近似导数： $$\frac{dy}{dx} \approx \frac{\Delta y}{\Delta x} \approx \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$ 例如，对于数据： ```matlab x = 0:5; y = [15, 10, 9, 6, 2, 0]; ``` 该导数近似对应于连接数据的每个线段的斜率。MATLAB有一个内置函数 `diff`，可用于求向量中元素值之间的差值，并可用于计算有序数据对的斜率。 以下是使用 `diff` 函数计算斜率的示例： ```matlab delta_x = diff(x); delta_y = diff(y); slope = delta_y./delta_x; ``` 使用 `diff` 函数返回的向量比输入向量短一个元素，因为是在计算差值。如果要绘制这些斜率与 $x$ 的关系，最好创建一个条形图，因为变化率是不连续的。可将 $x$ 值调整为每个线段的平均值： ```matlab x = x(:,1:5)+diff(x)/2; bar(x,slope); ``` `diff` 函数也可用于数值近似导数，如果知道 $x$ 和 $y$ 之间的关系。例如，对于函数 $y = x^2$： ```matlab x = −2:2; y = x.^2; big_x = −2:0.1:2; big_y = big_x.^2; plot(big_x,big_y,x,y,'−o'); slope5 = diff(y)./diff(x); x5 = x(:,1:4)+diff(x)./2; bar(x5,slope5); ``` ### 1.2 前向、后向和中心差分技术 如果想在某一点近似导数，而不是在一个区间上，可以使用相邻点之间的斜率作为单个 $x$ 值处导数的近似。 #### 前向差分 前向差分通过查看数组中的下一组 $x$ 和 $y$ 值来近似导数。例如，对于正弦函数： ```matlab x = linspace(0,pi/2,10); y = sin(x); dydx = cos(x); fd = diff(y)./diff(x); fd(length(x)) = NaN; error_percentage = (dydx - fd)./dydx * 100; a = ["X","cos(x)","Forward Approximation","% Error"]; table(x',dydx',fd',error_percentage','VariableNames',a); ``` #### 后向差分 后向差分将导数的近似值分配给区间的最后一个值。例如： ```matlab x = linspace( ```