【代数系统概览】群、环、域的定义及其基本性质

### 高等代数知识点概览 #### 一、多项式理论 1. **一般数域上一元多项式的概念**： - 多项式的定义：多项式是一类特殊的函数，可以表示为 \(a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n\) 的形式，其中 \(a_i\) 是系数。 - 多项式的度：最高次项的指数称为多项式的次数或度。 2. **整除的概念与性质**： - 整除定义：若存在多项式 \(q(x)\)，使得 \(f(x) = g(x)q(x)\)，则称 \(g(x)\) 整除 \(f(x)\)。 - 带余除法：对于任意多项式 \(f(x)\) 和非零多项式 \(g(x)\)，存在唯一的商多项式 \(q(x)\) 和余多项式 \(r(x)\)，使得 \(f(x) = g(x)q(x) + r(x)\)，且 \(deg(r(x)) < deg(g(x))\)。 3. **最大公因式**： - 最大公因式定义：两个多项式的最大公因式是所有公因式中次数最高的那个。 - 计算方法：通常采用辗转相除法。 4. **不可约多项式**： - 不可约多项式的定义：一个多项式如果不能被写成两个多项式的乘积，则称其为不可约的。 - 性质：不可约多项式在多项式的因式分解中起着基础作用。 5. **因式分解唯一性定理**： - 因式分解唯一性定理说明了多项式可以唯一地分解为其不可约因子的乘积。 6. **重因式的概念与判别方法**： - 重因式的定义：如果一个多项式能被另一个多项式的幂整除，则称后者为前者的重因式。 - 判别方法：通过导数和原多项式的最大公因式来判断。 7. **多项式根的概念及性质**： - 多项式根的定义：使得多项式等于零的数值。 - 有无重根的判别方法：利用多项式及其导数的最大公因式来判断是否存在重根。 8. **多项式因式分解定理**： - 在复数域和实数域上，任何多项式都可以分解为其不可约因子的乘积。 9. **有理系数多项式的基本性质**： - 有理根的计算：利用有理根定理进行计算。 - 可约性的讨论：利用艾森斯坦判别法判断多项式是否可约。 #### 二、行列式 1. **排列、逆序数、奇偶排列**： - 排列的定义：一组数的顺序。 - 逆序数：一对数的位置不符合自然顺序的情况。 - 奇偶排列：根据逆序数的奇偶性来分类。 2. **行列式的概念与性质**： - 行列式的定义：由矩阵元素构成的特殊表达式。 - 基本计算方法：按照定义展开或利用性质简化计算。 3. **克拉默法则**： - 克拉默法则用于求解线性方程组的解。 4. **拉普拉斯定理**： - 拉普拉斯定理是行列式计算的一个重要工具，可以通过行列式的一部分来计算整个行列式的值。 #### 三、线性方程组 1. **用消元法解线性方程组**： - 消元法是通过行变换将方程组转换为阶梯形式，从而求解的方法。 2. **向量线性相关性的概念**： - 向量线性相关性的定义：一组向量如果存在非零系数使得它们的线性组合等于零向量，则这组向量线性相关。 3. **矩阵的秩**： - 矩阵的秩是矩阵线性无关行（或列）的最大数目。 - 矩阵的秩与行列式的关系：当行列式不为零时，矩阵的秩等于矩阵的阶数。 4. **线性方程组有解的判别定理**： - 线性方程组的解的存在性和唯一性取决于系数矩阵的秩与增广矩阵的秩之间的关系。 #### 四、矩阵 1. **矩阵的运算及相关性质**： - 矩阵加法、减法、数乘和乘法的定义及其性质。 2. **可逆矩阵**： - 可逆矩阵的概念：一个矩阵如果存在另一个矩阵与其相乘的结果为单位矩阵，则称该矩阵可逆。 - 逆矩阵的计算方法：可以通过伴随矩阵和行列式的值来计算。 3. **矩阵的初等变换和初等矩阵**： - 初等变换包括交换两行（或列）、用非零常数乘一行（或列）和将一行（或列）的倍数加到另一行（或列）上。 - 初等矩阵是由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。 4. **矩阵等价**： - 矩阵等价的定义：两个矩阵可以通过一系列初等行变换互相转换。 5. **分块矩阵**： - 分块矩阵的定义：将矩阵划分为若干个子矩阵来进行计算。 - 分块矩阵的乘法：子矩阵间的乘法规则。 #### 五、二次型 1. **二次型的概念**： - 二次型的定义：形如 \(x^TAx\) 的表达式，其中 \(A\) 是一个对称矩阵。 2. **化二次型为标准形**： - 通过矩阵的合同变换将二次型化简为标准形。 3. **实数域和复数域上二次型的标准形及唯一性**： - 标准形是指经过适当变换后的二次型形式。 - 惯性定理描述了实数域和复数域上二次型的标准形具有唯一性。 4. **正定和半正定二次型**： - 正定二次型：所有主子式都大于零。 - 半正定二次型：所有主子式都不小于零。 #### 六、线性空间 1. **线性空间的定义和基本性质**： - 线性空间定义：集合加上向量加法和标量乘法操作满足一定条件的集合。 - 线性空间的基本性质包括封闭性、加法的结合律和交换律等。 2. **维数、基、坐标**： - 维数定义：线性空间中基的元素个数。 - 基定义：线性无关且可以表示线性空间中任意向量的一组向量。 - 坐标：向量相对于某个基的表示方式。 3. **子空间的概念及其判定方法**： - 子空间定义：线性空间的子集如果也是一个线性空间，则称其为子空间。 - 子空间的判定方法：验证子集是否满足线性空间的条件。 4. **子空间直和**： - 直和定义：两个子空间的并集如果可以表示为这两个子空间中向量的有序对，则称这两个子空间是直和的。 #### 七、线性变换 1. **线性变换的定义**： - 线性变换定义：在线性空间中保持加法和数乘运算的映射。 2. **线性变换的矩阵**： - 线性变换可以通过矩阵来表示。 - 特征值、特征向量的概念：如果存在非零向量 \(v\) 和标量 \(\lambda\)，使得 \(T(v) = \lambda v\)，则 \(\lambda\) 称为 \(T\) 的特征值，\(v\) 称为对应的特征向量。 3. **矩阵与对角形矩阵相似**： - 如果两个矩阵通过相似变换可以相互转化，则称它们相似。 - 对角形矩阵是一种特殊的矩阵，其非对角线位置的元素均为零。 4. **线性变换的秩与零度之间的关系**： - 线性变换的秩定义为像空间的维数。 - 零度定义为核空间的维数。 - 秩-零度定理描述了线性变换的秩与零度之间的关系。 5. **不变子空间**： - 不变子空间定义：如果线性变换的图像始终位于某子空间内，则称该子空间为不变子空间。 6. **最小多项式的概念及其计算**： - 最小多项式定义：与线性变换相关的多项式，是所有零化多项式中次数最低的。 - 最小多项式的计算方法：通常基于线性变换的性质和矩阵的特征值来计算。 #### 八、λ—矩阵 1. **λ—矩阵的概念及 λ—矩阵在初等变换下的标准形**： - λ—矩阵定义：一种特殊的矩阵，其中包含变量 λ。 - 标准形定义：通过初等变换可以将 λ—矩阵转化为特定形式。 2. **矩阵的不变因子、初等因子的概念及其计算方法**： - 不变因子定义：与矩阵的特征值和特征向量相关的多项式。 - 初等因子定义：不变因子的因式分解结果。 3. **矩阵相似的充要条件**： - 两个矩阵相似的充分必要条件是它们具有相同的不变因子或初等因子。 4. **矩阵 Jordan 标准形的概念及其计算方法**： - Jordan 标准形定义：通过相似变换可以将矩阵转化为的特殊形式，其中每个块都是 Jordan 块。 - 计算方法：基于矩阵的特征值和特征向量进行计算。 #### 九、欧几里得空间 1. **欧几里得空间的概念**： - 欧几里得空间定义：具有内积运算的线性空间。 2. **正交基、标准正交基**： - 正交基定义：基中向量两两正交的基。 - 标准正交基定义：基中向量两两正交且模长均为 1 的基。 - 施密特正交化过程：将一组线性无关的向量转换为一组正交（或标准正交）向量的过程。 3. **正交变换**： - 正交变换定义：保持内积不变的线性变换。 - 正交矩阵定义：保持向量长度不变的矩阵。 4. **子空间的正交补**： - 正交补定义：对于线性空间中的一个子空间，其正交补是所有与该子空间中向量正交的向量组成的子空间。 5. **将实对称矩阵正交相似对角形矩阵的方法**： - 实对称矩阵可以通过正交变换转换为对角形矩阵。 6. **向量到子空间的距离**： - 向量到子空间的距离定义：向量与子空间之间最短的距离。 #### 十、双线性函数 1. **线性函数的基本概念**： - 线性函数定义：满足加法和数乘运算的函数。 2. **双线性函数、对称双线性函数**： - 双线性函数定义：关于两个变量都是线性的函数。 - 对称双线性函数定义：满足对称性的双线性函数。 3. **利用矩阵研究二次型、欧氏空间中的相关内容**： - 通过矩阵可以统一地研究二次型和欧氏空间的相关内容。 - 例如，可以将二次型表示为向量与矩阵的乘积，从而简化计算。