时滞中立型复杂网络的局部随机同步准则研究

### 时滞中立型复杂网络的局部随机同步准则研究 在复杂网络的研究领域中，时滞中立型复杂网络的同步问题一直是一个重要的研究方向。本文将围绕时滞中立型复杂网络，基于增广Lyapunov–Krasovskii泛函和互凸组合技术，探讨其局部随机同步准则。 #### 1. 相关基础定义与性质 首先，我们来了解一些基础的定义和性质。对于Kronecker积，有以下三个重要性质： - **性质1**：\((\alpha A) \otimes B = A \otimes (\alpha B)\) - **性质2**：\((A + B) \otimes C = A \otimes C + B \otimes C\) - **性质3**：\((A \otimes B)(C \otimes D) = (AC) \otimes (BD)\) 这些性质在后续的推导和证明中会起到关键作用。 #### 2. 系统模型的构建 为了更方便地研究时滞中立型复杂网络，我们将系统（3.1）进行重新表述。设\(r_{trt}\)的每个可能值用\(i\)表示，\(i \in G\)，则系统（3.1）可以写成如下形式： \(\dot{x}_k(t) - D_i \dot{x}_k(t - \sigma(t)) = -C_i x_k(t) + A_i f(x_k(t)) + B_i f(x_k(t - \tau(t))) + U_k(t) + \sum_{l = 1}^{N} G_{kl,i}^{(1)} \Gamma_{1,i} x_l(t) + \sum_{l = 1}^{N} G_{kl,i}^{(2)} \Gamma_{2,i} x_l(t - \tau(t)) + \sum_{l = 1}^{N} G_{kl,i}^{(3)} \Gamma_{3,i} \int_{t - \tau(t)}^{t} x_l(s) ds\)，其中\(k = 1, 2, \cdots, N\)。 为了进一步简化计算，我们引入一些新的符号： - \(M = \tilde{M} \otimes I_n\) - \(\overline{D}_i = I_N \otimes D_i\)，\(\overline{D}_i' = I_{m - 1} \otimes D_i\) - \(\overline{C}_i = I_N \otimes C_i\)，\(\overline{C}_i' = I_{m - 1} \otimes C_i\) - \(\overline{A}_i = I_N \otimes A_i\)，\(\overline{A}_i' = I_{m - 1} \otimes A_i\) - \(\overline{B}_i = I_N \otimes B_i\)，\(\overline{B}_i' = I_{m - 1} \otimes B_i\) - \(\overline{\Gamma}_{1,i} = G_i^{(1)} \otimes \Gamma_{1,i}\)，\(\overline{\Gamma}_{2,i} = G_i^{(2)} \otimes \Gamma_{2,i}\)，\(\overline{\Gamma}_{3,i} = G_i^{(3)} \otimes \Gamma_{3,i}\) - \(x(t) = [x_1^T(t), x_2^T(t), \cdots, x_N^T(t)]^T\) - \(f(x(t)) = [f^T(x_1(t)), f^T(x_2(t)), \cdots, f^T(x_N(t))]^T\) - \(\overline{U}(t) = [U_1^T(t), U_2^T(t), \cdots, U_N^T(t)]^T\) - \(\overline{E}_1 = I_{m - 1} \otimes E_1\)，\(\overline{E}_2 = I_{m - 1} \otimes E_2\) 通过这些符号的引入，系统可以重写为： \(\dot{x}(t) - \overline{D}_i \dot{x}(t - \sigma(t)) = - \overline{C}_i x(t) + \overline{A}_i f(x(t)) + \overline{B}_i f(x(t - \tau(t))) + \overline{U}(t) + \overline{\Gamma}_{1,i} x(t) + \overline{\Gamma}_{2,i} x(t - \tau(t)) + \overline{\Gamma}_{3,i} \int_{t - \tau(t)}^{t} x(s) ds\) #### 3. 主要定理及条件 接下来，我们给出判断系统局部渐近均方同步的主要定理。 **定理3.1**：在假设3.1和3.2下，如果存在正定矩阵\(P_i \in R^{(m - 1)n \times (m - 1)n}\)（\(i = 1, 2, 3, \cdots, N\)），矩阵\(Q^q = \begin{pmatrix} Q_{11}^q & Q_{12}^q \\ * & Q_{22}^q \end{pmatrix} \in R^{2(m - 1)n \times 2(m - 1)n}\)，\(F^p = \begin{pmatrix} F_{11}^p & F_{12}^p \\ * & F_{22}^p \end{pmatrix} \in R^{2(m - 1)n \times 2(m - 1)n}\)，\(Y^p = \begin{pmatrix} Y_{11}^p & Y_{12}^p \\ * & Y_{22}^p \end{pmatrix} \in R^{2(m - 1)n \times 2(m - 1)n}\)，\(S \in R^{(m - 1)n \times (m - 1)n}\)，\(W_q \in R^{(m - 1)n \times (m - 1)n}\)（\(q = 1, 2, 3\)；\(p = 1, 2\)），正对角矩阵\(R_r \in R^{(m - 1)n \times (m - 1)n}\)（\(r = 1, 2, 3, 4\)），以及矩阵\(Z_i \in R^{(m - 1)n \times (m - 1)n}\)（\(Z_i = Z_i^T\)），\(J \in R^{(m - 1)n \times (m - 1)n}\)，\(T \in R^{(m - 1)n \times (m - 1)n}\)，使得对于任意\(i \in G\)，满足以下矩阵不等式： - \(\Omega^i = \begin{pmatrix} \Omega_{(1)}^i & \Omega_{(2)}^i \end{pmatrix} < 0\) - \(P_j - Z_i \leq 0\)，对于所有\(j \in G_{uk}^i\)，\(j \neq i\) - \(P_j - Z_i \geq 0\)，对于所有\(j \in G_{uk}^i\)，\(j = i\) - \(\begin{pmatrix} W_2 & J \\ * & W_2 \end{pmatrix} > 0\) 其中，\(\Omega_{(1)}^i\)和\(\Omega_{(2)}^i\)是具体的矩阵，其元素的表达式如下： \(\Omega_{(1)}^i = \begin{pmatrix} \Omega_{11}^i & \Omega_{12}^i & W_1 & 0 & \Omega_{15}^i & \Omega_{16}^i & 0 & 0 & \Omega_{19}^i & \Omega_{1,10}^i \\ * & \Omega_{22}^i & \Omega_{23}^i & \Omega_{24}^i & 0 & \Omega_{26}^i & 0 & 0 & \Omega_{29}^i & 0 \\ * & * & \Omega_{33}^i & J & 0 & 0 & \Omega_{37}^i & 0 & 0 & 0 \\ * & * & * & \Omega_{44}^i & 0 & 0 & 0 & \Omega_{48}^i & 0 & 0 \\ * & * & * & * & \Omega_{55}^i & 0 & 0 & 0 & \Omega_{59}^i & 0 \\ * & * & * & * & * & \Omega_{66}^i & 0 & 0 & \Omega_{69}^i & 0 \\ * & * & * & * & * & * & \Omega_{77}^i & 0 & 0 & 0 \\ * & * & * & * & * & * & * & \Omega_{88}^i & 0 & 0 \\ * & * & * & * & * & * & * & * & \Omega_{99}^i & \Omega_{9,10}^i \\ * & * & * & * & * & * & * & * & * & \Omega_{10,10}^i \\ * & * & * & * & * & * & * & * & * & * \\ * & * & * & * & * & * & * & * & * & * \\ * & * & * & * & * & * & * & * & * & * \\ * & * & * & * & * & * & * & * & * & * \\ * & * & * & * & * & * & * & * & * & * \end{pmatrix}\) \(\Omega_{(2)}^i = \begin{pmatrix} \Omega_{1,11}^i & (F_1^{11})^T & 0 & F_1^{12} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -(F_1^{11})^T & (F_2^{11})^T & -F_1^{12} & F_2^{12} \\ 0 & 0 & -(F_2^{11})^T & 0 & -F_2^{12} \\ 0 & (F_1^{12})^T & 0 & (F_1^{22})^T & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -(F_1^{12})^T & (F_2^{12})^T & -(F_1^{22})^T & (F_2^{22})^T \\ 0 & 0 & -(F_2^{12})^T & 0 & -(F_2^{22})^T \\ \Omega_{9,11}^i & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \Omega_{11,11}^i & 0 & 0 & 0 & 0 \\ * & -Y_1^{11} & 0 & -Y_1^{12} & 0 \\ * & * & -Y_2^{11} & 0 & -Y_2^{12} \\ * & * & * & -Y_1^{22} & 0 \\ * & * & * & * & -Y_2^{22} \end{pmatrix}\) 这些矩阵元素的具体表达式为： - \(\Omega_{11}^i = -P_i \overline{C}_i' - (P_i \overline{C}_i')^T + P_i \overline{H}_{1,i} + (P_i \overline{H}_{1,i})^T + \sum_{j \in G_k} \pi_{ij} (P_j - Z_i) + Q_1^{11} + Q_2^{11} + d_1^2 Y_1^{11} + d_{12}^2 Y_2^{11} - W_1 + d_2^2 W_3 - R_1 \overline{E}_1\) - \(\Omega_{12}^i = P_i \overline{H}_{2,i}\) - \(\Omega_{15}^i = P_i \overline{A}_i' + Q_1^{12} + Q_2^{12} + d_1^2 Y_1^{12} + d_{12}^2 Y_2^{12} + R_1 \overline{E}_2\) - \(\Omega_{16}^i = P_i \overline{B}_i'\) - \(\Omega_{19}^i = -(T \overline{C}_i')^T + (T \overline{H}_{1,i})^T\) - \(\Omega_{1,10}^i = P_i \overline{D}_i'\) - \(\Omega_{1,11}^i = P_i \overline{H}_{3,i}\) - \(\Omega_{22}^i = -(1 - h) Q_1^{11} - W_2 + J^T + J - W_2 - R_2 \overline{E}_1\) - \(\Omega_{23}^i = W_2 - J^T\) - \(\Omega_{24}^i = -J + W_2\) - \(\Omega_{26}^i = -(1 - h) Q_1^{12} + R_2 \overline{E}_2\) - \(\Omega_{29}^i = (T \overline{H}_{2,i})^T\) - \(\Omega_{33}^i = -Q_2^{11} + Q_3^{11} - W_1 - W_2 - R_3 \overline{E}_1\) - \(\Omega_{37}^i = R_3 \overline{E}_2 + Q_3^{12} - Q_2^{12}\) - \(\Omega_{44}^i = -Q_3^{11} - W_2 - R_4 \overline{E}_1\) - \(\Omega_{48}^i = -Q_3^{12} + R_4 \overline{E}_2\) - \(\Omega_{55}^i = Q_1^{22} + Q_2^{22} + d_1^2 Y_1^{22} + d_{12}^2 Y_2^{22} - R_1\) - \(\Omega_{59}^i = (T \overline{A}_i')^T\) - \(\Omega_{66}^i = -(1 - h) Q_1^{22} - R_2\) - \(\Omega_{69}^i = (T \overline{B}_i')^T\) - \(\Omega_{77}^i = -Q_2^{22} + Q_3^{22} - R_3\) - \(\Omega_{88}^i = -Q_3^{22} - R_4\) - \(\Omega_{99}^i = S + d_1^2 W_1 + d_{12}^2 W_2 - T^T - T\) - \(\Omega_{9,10}^i = T \overline{D}_i'\) - \(\Omega_{9,11}^i = T \overline{H}_{3,i}\) - \(\Omega_{10,10}^i = -(1 - \sigma) S\) - \(\Omega_{11,11}^i = -W_3\) \(d_{12} = d_2 - d_1\)，\(\overline{H}_{1,i} = \tilde{H}_{1,i} \otimes \Gamma_{1,i}\)，\(\overline{H}_{2,i} = \tilde{H}_{2,i} \otimes \Gamma_{2,i}\)，\(\overline{H}_{3,i} = \tilde{H}_{3,i} \otimes \Gamma_{3,i}\)，\(\tilde{H}_{1,i} = M Z_{11,i}^{(1)} J\)，\(\tilde{H}_{2,i} = M Z_{11,i}^{(2)} J\)，\(\tilde{H}_{3,i} = M Z_{11,i}^{(3)} J\)，\(M\)和\(J\)的结构与引理3.2相同。 #### 4. 证明思路 为了证明定理3.1，我们考虑如下的Lyapunov–Krasovskii泛函： \(V(x(t), t, i) = \sum_{q = 1}^{6} [V_q(x(t), t, i)]\) 其中： - \(V_1(x(t), t, i) = x^T(t) M^T P_i M x(t)\) - \(V_2(x(t), t, i) = \int_{t - \tau(t)}^{t} \begin{bmatrix} M x(s) \\ M f(x(s)) \end{bmatrix}^T \begin{pmatrix} Q_1^{11} & Q_1^{12} \\ * & Q_1^{22} \end{pmatrix} \begin{bmatrix} M x(s) \\ M f(x(s)) \end{bmatrix} ds + \int_{t - d_1}^{t} \begin{bmatrix} M x(s) \\ M f(x(s)) \end{bmatrix}^T \begin{pmatrix} Q_2^{11} & Q_2^{12} \\ * & Q_2^{22} \end{pmatrix} \begin{bmatrix} M x(s) \\ M f(x(s)) \end{bmatrix} ds + \int_{t - d_2}^{t - d_1} \begin{bmatrix} M x(s) \\ M f(x(s)) \end{bmatrix}^T \begin{pmatrix} Q_3^{11} & Q_3^{12} \\ * & Q_3^{22} \end{pmatrix} \begin{bmatrix} M x(s) \\ M f(x(s)) \end{bmatrix} ds\) - \(V_3(x(t), t, i) = \left( \int_{t - d_1}^{t} \begin{bmatrix} M x(s) \\ M f(x(s)) \end{bmatrix} ds \right)^T \begin{pmatrix} F_1^{11} & F_1^{12} \\ * & F_1^{22} \end{pmatrix} \int_{t - d_1}^{t} \begin{bmatrix} M x(s) \\ M f(x(s)) \end{bmatrix} ds + \left( \int_{t - d_2}^{t - d_1} \begin{bmatrix} M x(s) \\ M f(x(s)) \end{bmatrix} ds \right)^T \begin{pmatrix} F_2^{11} & F_2^{12} \\ * & F_2^{22} \end{pmatrix} \int_{t - d_2}^{t - d_1} \begin{bmatrix} M x(s) \\ M f(x(s)) \end{bmatrix} ds\) - \(V_4(x(t), t, i) = d_1 \int_{t - d_1}^{t} \int_{\theta}^{t} \begin{bmatrix} M x(s) \\ M f(x(s)) \end{bmatrix}^T \begin{pmatrix} Y_1^{11} & Y_1^{12} \\ * & Y_1^{22} \end{pmatrix} \begin{bmatrix} M x(s) \\ M f(x(s)) \end{bmatrix} ds d\theta + (d_2 - d_1) \int_{t - d_2}^{t - d_1} \int_{\theta}^{t} \begin{bmatrix} M x(s) \\ M f(x(s)) \end{bmatrix}^T \begin{pmatrix} Y_2^{11} & Y_2^{12} \\ * & Y_2^{22} \end{pmatrix} \begin{bmatrix} M x(s) \\ M f(x(s)) \end{bmatrix} ds d\theta\) - \(V_5(x(t), t, i) = \int_{t - \sigma(t)}^{t} (M \dot{x}(s))^T S (M \dot{x}(s)) ds\) - \(V_6(x(t), t, i) = d_1 \int_{-d_1}^{0} \int_{t + \theta}^{t} (M \dot{x}(s))^T W_1 (M \dot{x}(s)) ds d\theta + (d_2 - d_1) \int_{-d_2}^{-d_1} \int_{t + \theta}^{t} (M \dot{x}(s))^T W_2 (M \dot{x}(s)) ds d\theta + d_2 \int_{-d_2}^{0} \int_{t + \theta}^{t} (M x(s))^T W_3 (M x(s)) ds d\theta\) 设\(\mathcal{L}\)是沿系统（3.4）的弱无穷小生成元，我们可以分别计算\(\mathcal{L}V_q(x(t), t, i)\)（\(q = 1, 2, \cdots, 6\)）： - \(\mathcal{L}V_1(x(t), t, i) = 2 x^T(t) M^T P_i M [\overline{D}_i \dot{x}(t - \sigma(t)) - \overline{C}_i x(t) + \overline{A}_i f(x(t)) + \overline{B}_i f(x(t - \tau(t))) + \overline{U}(t) + \overline{\Gamma}_{1,i} x(t) + \overline{\Gamma}_{2,i} x(t - \tau(t)) + \overline{\Gamma}_{3,i} \int_{t - \tau(t)}^{t} x(s) ds] + \sum_{j = 1}^{N} \pi_{ij} (M x(t))^T P_j M x(t)\) - \(\mathcal{L}V_2(x(t), t, i) = \begin{bmatrix} M x(t) \\ M f(x(t)) \end{bmatrix}^T \begin{pmatrix} Q_1^{11} & Q_1^{12} \\ * & Q_1^{22} \end{pmatrix} \begin{bmatrix} M x(t) \\ M f(x(t)) \end{bmatrix} - (1 - \dot{\tau}(t)) \begin{bmatrix} M x(t - \tau(t)) \\ M f(x(t - \tau(t))) \end{bmatrix}^T \begin{pmatrix} Q_1^{11} & Q_1^{12} \\ * & Q_1^{22} \end{pmatrix} \begin{bmatrix} M x(t - \tau(t)) \\ M f(x(t - \tau(t))) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} M x(t) \\ M f(x(t)) \end{bmatrix}^T \begin{pmatrix} Q_2^{11} & Q_2^{12} \\ * & Q_2^{22} \end{pmatrix} \begin{bmatrix} M x(t) \\ M f(x(t)) \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} M x(t - d_1) \\ M f(x(t - d_1)) \end{bmatrix}^T \begin{pmatrix} Q_2^{11} & Q_2^{12} \\ * & Q_2^{22} \end{pmatrix} \begin{bmatrix} M x(t - d_1) \\ M f(x(t - d_1)) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} M x(t - d_1) \\ M f(x(t - d_1)) \end{bmatrix}^T \begin{pmatrix} Q_3^{11} & Q_3^{12} \\ * & Q_3^{22} \end{pmatrix} \begin{bmatrix} M x(t - d_1) \\ M f(x(t - d_1)) \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} M x(t - d_2) \\ M f(x(t - d_2)) \end{bmatrix}^T \begin{pmatrix} Q_3^{11} & Q_3^{12} \\ * & Q_3^{22} \end{pmatrix} \begin{bmatrix} M x(t - d_2) \\ M f(x(t - d_2)) \end{bmatrix}\) - \(\mathcal{L}V_3(x(t), t, i) = 2 \left( \int_{t - d_1}^{t} \begin{bmatrix} M x(s) \\ M f(x(s)) \end{bmatrix} ds \right)^T \begin{pmatrix} F_1^{11} & F_1^{12} \\ * & F_1^{22} \end{pmatrix} \begin{bmatrix} M x(t) - M x(t - d_1) \\ M f(x(t)) - M f(x(t - d_1)) \end{bmatrix} + 2 \left( \int_{t - d_2}^{t - d_1} \begin{bmatrix} M x(s) \\ M f(x(s)) \end{bmatrix} ds \right)^T \begin{pmatrix} F_2^{11} & F_2^{12} \\ * & F_2^{22} \end{pmatrix} \begin{bmatrix} M x(t - d_1) - M x(t - d_2) \\ M f(x(t - d_1)) - M f(x(t - d_2)) \end{bmatrix}\) - \(\mathcal{L}V_4(x(t), t, i) \leq d_1^2 \begin{bmatrix} M x(t) \\ M f(x(t)) \end{bmatrix}^T \begin{pmatrix} Y_1^{11} & Y_1^{12} \\ * & Y_1^{22} \end{pmatrix} \begin{bmatrix} M x(t) \\ M f(x(t)) \end{bmatrix} - \left( \int_{t - d_1}^{t} \begin{bmatrix} M x(s) \\ M f(x(s)) \end{bmatrix} ds \right)^T \begin{pmatrix} Y_1^{11} & Y_1^{12} \\ * & Y_1^{22} \end{pmatrix} \int_{t - d_1}^{t} \begin{bmatrix} M x(s) \\ M f(x(s)) \end{bmatrix} ds + d_{12}^2 \begin{bmatrix} M x(t) \\ M f(x(t)) \end{bmatrix}^T \begin{pmatrix} Y_2^{11} & Y_2^{12} \\ * & Y_2^{22} \end{pmatrix} \begin{bmatrix} M x(t) \\ M f(x(t)) \end{bmatrix} - \left( \int_{t - d_1}^{t - d_2} \begin{bmatrix} M x(s) \\ M f(x(s)) \end{bmatrix} ds \right)^T \begin{pmatrix} Y_2^{11} & Y_2^{12} \\ * & Y_2^{22} \end{pmatrix} \int_{t - d_1}^{t - d_2} \begin{bmatrix} M x(s) \\ M f(x(s)) \end{bmatrix} ds\) - \(\mathcal{L}V_5(x(t), t, i) = (M \dot{x}(t))^T S M \dot{x}(t) - (1 - \dot{\sigma}(t)) (M \dot{x}(t - \sigma(t)))^T S M \dot{x}(t - \sigma(t)) \leq (M \dot{x}(t))^T S M \dot{x}(t) - (1 - \sigma) (M \dot{x}(t - \sigma(t)))^T S M \dot{x}(t - \sigma(t))\) - \(\mathcal{L}V_6(x(t), t, i) \leq d_1^2 (M \dot{x}(t))^T W_1 M \dot{x}(t) - \left( \int_{t - d_1}^{t} M \dot{x}(s) ds \right)^T W_1 \int_{t - d_1}^{t} M \dot{x}(s) ds + (d_2 - d_1)^2 (M \dot{x}(t))^T W_2 M \dot{x}(t) - [M x(t - d_1) - M x(t - \tau(t))]^T W_2 [M x(t - d_1) - M x(t - \tau(t))] - 2 [M x(t - d_1) - M x(t - \tau(t))]^T J [M x(t - \tau(t)) - M x(t - d_2)] - [M x(t - \tau(t)) - M x(t - d_2)]^T W_2 [M x(t - \tau(t)) - M x(t - d_2)] + d_2^2 (M x(t))^T W_3 M x(t) - \left( \int_{t - \tau(t)}^{t} M x(s) ds \right)^T W_3 \int_{t - \tau(t)}^{t} M x(s) ds\) 基于引理3.3的互凸组合技术，我们可以得到一些不等式关系，然后结合系统（3.4）以及一些假设条件，最终得到： \(\mathbb{E} \{ \mathcal{L} V(x(t), t, i) \} \leq - \gamma \mathbb{E} \{ \| M x(t) \|^2 \}\) 其中，\(\gamma = \min_{i \in G} \{ \lambda_{min}(-\Omega^i), \lambda_{min}(- \sum_{j \in G_{uk}^i} \pi_{ij} (P_j - Z_i)) \} > 0\) 再应用Dynkin公式： \(\mathbb{E} \{ V(x(t), t, i) \} - \mathbb{E} \{ V(x(0), 0, i_0) \} = \mathbb{E} \left\{ \int_{0}^{t} \mathcal{L} V(x(s), s, r_s) ds \right\}\) 通过以上步骤，我们可以证明定理3.1。 #### 5. 总结 本文通过引入增广Lyapunov–Krasovskii泛函和互凸组合技术，得到了时滞中立型复杂网络的局部随机同步准则。通过判断一系列矩阵不等式是否成立，我们可以确定系统是否能够实现局部渐近均方同步。这些结果为研究时滞中立型复杂网络的同步问题提供了重要的理论依据。 下面是一个简单的mermaid流程图，展示了整个证明的主要步骤： ```mermaid graph TD; A[构建系统模型] --> B[定义Lyapunov–Krasovskii泛函]; B --> C[计算弱无穷小生成元]; C --> D[应用互凸组合技术和假设条件]; D --> E[得到关键不等式]; E --> F[应用Dynkin公式证明定理]; ``` 同时，为了更清晰地展示各个矩阵和参数的关系，我们可以列出如下表格： | 符号 | 含义 | | ---- | ---- | | \(P_i\) | 正定矩阵，用于判断系统同步 | | \(Q^q\) | 矩阵，参与泛函和不等式计算 | | \(F^p\) | 矩阵，参与泛函和不等式计算 | | \(Y^p\) | 矩阵，参与泛函和不等式计算 | | \(S\) | 矩阵，用于泛函计算 | | \(W_q\) | 矩阵，用于泛函计算 | | \(R_r\) | 正对角矩阵，参与不等式计算 | | \(Z_i\) | 矩阵，参与不等式计算 | | \(J\) | 矩阵，参与不等式计算 | | \(T\) | 矩阵，参与不等式计算 | | \(\Omega^i\) | 矩阵，用于判断系统同步的关键矩阵 | 通过以上的研究和分析，我们对时滞中立型复杂网络的同步问题有了更深入的理解，并且提供了一套有效的判断方法。未来的研究可以进一步考虑更复杂的网络结构和时滞情况，以及如何将这些理论结果应用到实际的工程问题中。 ### 时滞中立型复杂网络的局部随机同步准则研究 #### 6. 系统分析与不等式推导 在上述证明过程中，我们还需要对一些关键步骤进行详细分析。首先，从系统（3.4）出发，对于任意矩阵\(T\)，有以下等式成立： \(0 = 2 (M \dot{x}(t))^T T M [- \dot{x}(t) + \overline{D}_i \dot{x}(t - \sigma(t)) - \overline{C}_i x(t) + \overline{A}_i f(x(t)) + \overline{B}_i f(x(t - \tau(t))) + \overline{U}(t) + \overline{\Gamma}_{1,i} x(t) + \overline{\Gamma}_{2,i} x(t - \tau(t)) + \overline{\Gamma}_{3,i} \int_{t - \tau(t)}^{t} x(s) ds]\) 这个等式是后续推导的重要基础，它将矩阵\(T\)与系统的状态变量和参数联系起来。 根据假设3.1，我们可以得到以下四个不等式： - \(\begin{bmatrix} M x(t) \\ M f(x(t)) \end{bmatrix}^T \begin{pmatrix} -R_1 \overline{E}_1 & R_1 \overline{E}_2 \\ * & -R_1 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} M x(t) \\ M f(x(t)) \end{bmatrix} \geq 0\) - \(\begin{bmatrix} M x(t - \tau(t)) \\ M f(x(t - \tau(t))) \end{bmatrix}^T \begin{pmatrix} -R_2 \overline{E}_1 & R_2 \overline{E}_2 \\ * & -R_2 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} M x(t - \tau(t)) \\ M f(x(t - \tau(t))) \end{bmatrix} \geq 0\) - \(\begin{bmatrix} M x(t - d_1) \\ M f(x(t - d_1)) \end{bmatrix}^T \begin{pmatrix} -R_3 \overline{E}_1 & R_3 \overline{E}_2 \\ * & -R_3 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} M x(t - d_1) \\ M f(x(t - d_1)) \end{bmatrix} \geq 0\) - \(\begin{bmatrix} M x(t - d_2) \\ M f(x(t - d_2)) \end{bmatrix}^T \begin{pmatrix} -R_4 \overline{E}_1 & R_4 \overline{E}_2 \\ * & -R_4 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} M x(t - d_2) \\ M f(x(t - d_2)) \end{bmatrix} \geq 0\) 这些不等式反映了系统状态变量和非线性函数之间的某种约束关系，在推导\(\mathbb{E} \{ \mathcal{L} V(x(t), t, i) \}\)的上界时起到了重要作用。 考虑到转移概率信息不完全可知的情况，由于\(\sum_{j = 1}^{N} \pi_{ij} = 0\)，对于所有\(Z_i = Z_i^T\)，有以下零等式成立： \(-(M x(t))^T (\sum_{j \in G_k^i} \pi_{ij} + \sum_{j \in G_{uk}^i} \pi_{ij}) Z_i M x(t) = 0\) 这个等式在处理转移概率的不确定性时非常关键，它使得我们能够在不完全知道转移概率的情况下，依然进行有效的分析和推导。 #### 7. 结果整合与期望不等式推导 将前面得到的\(\mathcal{L}V_q(x(t), t, i)\)（\(q = 1, 2, \cdots, 6\)）的表达式，以及上述等式和不等式（3.23） - （3.28）进行整合，我们可以得到： \(\mathbb{E} \{ \mathcal{L} V(x(t), t, i) \} \leq \mathbb{E} \{ \eta^T(t) \Omega^i \eta(t) + \sum_{j \in G_{uk}^i} (M x(t))^T \pi_{ij} (P_j - Z_i) M x(t) \}\) 其中，\(\eta(t) = \{ (M x(t))^T, (M x(t - \tau(t)))^T, (M x(t - d_1))^T, (M x(t - d_2))^T, (M f(x(t)))^T, (M f(x(t - \tau(t)))^T, (M f(x(t - d_1)))^T, (M f(x(t - d_2)))^T, (M \dot{x}(t))^T, (M \dot{x}(t - \sigma(t)))^T, (\int_{t - \tau(t)}^{t} M x(s) ds)^T, (\int_{t - d_1}^{t} M x(s) ds)^T, (\int_{t - d_2}^{t - d_1} M x(s) ds)^T, (\int_{t - d_1}^{t} M f(x(s)) ds)^T, (\int_{t - d_2}^{t - d_1} M f(x(s)) ds)^T \}^T\) 进一步地，我们可以得到： \(\mathbb{E} \{ \mathcal{L} V(x(t), t, i) \} \leq - \gamma \mathbb{E} \{ \| M x(t) \|^2 \}\) 其中，\(\gamma = \min_{i \in G} \{ \lambda_{min}(-\Omega^i), \lambda_{min}(- \sum_{j \in G_{uk}^i} \pi_{ij} (P_j - Z_i)) \} > 0\) 这个结果表明，在满足定理3.1的条件下，系统的弱无穷小生成元的期望是负定的，从而保证了系统的局部渐近均方同步。 #### 8. 实际应用与意义 上述研究结果在实际应用中具有重要意义。在许多复杂网络系统中，如电力网络、通信网络和生物网络等，时滞和中立型特性是普遍存在的。通过判断定理3.1中的矩阵不等式是否成立，我们可以评估这些网络系统是否能够实现局部渐近均方同步。 例如，在电力网络中，各个节点的状态同步对于电网的稳定运行至关重要。时滞可能会导致节点之间的信息传递延迟，从而影响系统的同步性能。而中立型特性则可能来自于系统中的惯性元件。利用我们得到的同步准则，电力系统的设计者可以通过调整系统参数，使得相关矩阵不等式成立，从而保证电力网络的稳定同步运行。 在通信网络中，节点之间的信息交换也存在时滞，并且网络的拓扑结构可能会随着时间发生变化。我们的同步准则可以帮助网络管理员判断网络是否能够保持同步，以及如何优化网络参数来提高同步性能。 #### 9. 总结与展望 本文围绕时滞中立型复杂网络的局部随机同步问题展开研究，通过引入增广Lyapunov–Krasovskii泛函和互凸组合技术，得到了系统局部渐近均方同步的充分条件。具体来说，我们构建了系统模型，定义了合适的Lyapunov–Krasovskii泛函，计算了其弱无穷小生成元，并利用互凸组合技术和相关假设条件，最终得到了关键的矩阵不等式。 通过判断这些矩阵不等式是否成立，我们可以确定系统是否能够实现局部渐近均方同步。这些结果为研究时滞中立型复杂网络的同步问题提供了重要的理论依据，并且在实际工程应用中具有广泛的应用前景。 未来的研究可以从以下几个方面展开： - **考虑更复杂的网络结构**：本文主要研究了较为一般的时滞中立型复杂网络，未来可以考虑更复杂的网络拓扑结构，如具有层次结构、小世界特性或无标度特性的网络。 - **处理更复杂的时滞情况**：可以考虑时滞具有时变性、分布性或不确定性的情况，进一步拓展同步准则的适用范围。 - **结合实际应用进行优化**：将理论结果应用到实际的工程问题中，并根据实际需求进行优化，如设计更有效的控制器来保证系统的同步性能。 下面是一个mermaid流程图，展示了从系统模型到最终同步判断的整个过程： ```mermaid graph LR; A[系统模型] --> B[定义泛函]; B --> C[计算生成元]; C --> D[推导不等式]; D --> E[整合结果]; E --> F[判断同步]; ``` 同时，为了更清晰地展示整个研究过程中涉及的主要步骤和关键结果，我们可以列出如下表格： | 步骤 | 内容 | | ---- | ---- | | 1 | 构建时滞中立型复杂网络系统模型 | | 2 | 引入增广Lyapunov–Krasovskii泛函 | | 3 | 计算泛函的弱无穷小生成元 | | 4 | 利用互凸组合技术和假设条件推导不等式 | | 5 | 整合结果得到关键矩阵不等式 | | 6 | 根据矩阵不等式判断系统是否局部渐近均方同步 | 通过以上的研究和分析，我们对时滞中立型复杂网络的同步问题有了更深入的理解，并且为实际应用提供了一套有效的理论工具。未来的研究将进一步拓展和完善这些结果，使其更好地服务于实际工程需求。