傅里叶级数：性质、运算与应用

### 傅里叶级数：性质、运算与应用 #### 1. 半波整流正弦信号 半波整流是从电力公司提供的正弦信号中获取非零直流电平信号的另一种方法。与全波整流正弦信号（FWRS）的主要区别在于，半波整流正弦信号（HWRS）输出的基频是FWRS基频的一半。这使得在直流电源应用中，更难以平滑纹波并实现恒定输出。 #### 2. 傅里叶级数的运算 在信号处理中，对信号进行操作时，需要预测信号的变化。傅里叶级数表示周期性信号的一个重要优点是，对信号 \(x(t)\) 的操作通常对应着对傅里叶系数的简单操作。以下是几种常见的操作： - **缩放或添加常数** - **缩放**：将周期性信号 \(x(t)\) 乘以缩放因子 \(\gamma\)，其傅里叶级数系数也会乘以相同的缩放因子 \(\gamma\)，即 \(\gamma x(t) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} (\gamma a_k) e^{j\omega_0 kt}\)。 - **添加常数**：添加常数 \(c\) 只会改变频谱的直流分量，\(x(t) + c = (a_0 + c) + \sum_{k \neq 0} a_k e^{j\omega_0 kt}\)。这两种操作都不会改变信号的周期。 - **示例：新方波** 定义一个双极性方波 \(y(t)\) 如下： \[y(t) = \begin{cases} +1, & 0 \leq t < T_0/2 \\ -1, & T_0/2 \leq t < T_0 \end{cases} \] 该方波与零 - 一方波的关系为 \(y(t) = 2(x(t) - 1/2)\)。零 - 一方波的傅里叶系数为： \[a_k = \begin{cases} 1/2, & k = 0 \\ -\frac{j}{k\pi}, & k \text{ 为奇数} \\ 0, & k = \pm2, \pm4, \cdots \end{cases} \] 则 \(y(t)\) 的傅里叶系数 \(\{b_k\}\) 为： \[b_k = \begin{cases} 2(a_0 - 1/2) = 0, & k = 0 \\ 2a_k = 2\left(-\frac{j}{k\pi}\right), & k \text{ 为奇数} \\ 0, & k = \pm2, \pm4, \cdots \end{cases} \] - **添加信号** - **相同基频**：如果两个周期性信号具有相同的基频，则它们的傅里叶系数相加，即 \(x(t) + y(t) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} (a_k + b_k) e^{j\omega_0 kt}\)。 - **不同基频**：情况较为复杂，因为求和信号可能不是周期性的。如果求和信号是周期性的，需要通过最大公约数（gcd）操作找到新的基频，然后重新索引傅里叶系数再进行相加。 - **时间缩放性质** 时间缩放操作 \(y(t) = x(\alpha t)\) 会改变每个周期的长度，但波形形状不变。如果 \(x(t)\) 的周期为 \(T_0\)，缩放常数 \(0 < \alpha < \infty\)，则 \(y(t)\) 的周期为 \(T_0 / \alpha\)。其傅里叶级数系数满足： \[x(\alpha t) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} a_k e^{j(2\pi/T_0)k(\alpha t)}\] \[y(t) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} a_k e^{j(2\pi/(T_0/\alpha))kt}\] 时间缩放后的信号 \(x(\alpha t)\) 的傅里叶级数系数与原信号 \(x(t)\) 相同，只是基频发生了变化。 - **示例：时间缩放脉冲波** 脉冲波的傅里叶系数公式为： \[a_k = \begin{cases} \frac{\sin(\pi k(\tau/T_0))}{\pi k}, & k = \pm1, \pm2, \pm3, \cdots \\ \tau/T_0, & k = 0 \end{cases} \] 当脉冲持续时间与周期的比值 \(\tau/T_0\) 固定时，傅里叶系数只取决于该比值。例如，当周期为 \(50 ms\)，脉冲宽度为 \(10 ms\) 时，\(\tau/T_0 = 0.2\)。可以使用周期为 \(1 s\)、脉冲长度为 \(0.2 s\) 的傅里叶分析积分来确定所有 \(\tau/T_0 = 0.2\) 情况下的傅里叶系数： \[a_k = \int_{-\tau'/2}^{\tau'/2} e^{-j2\pi kt} dt\] 对于 \(\tau/T_0 = 0.2\) 的情况，积分限为 \(\pm(\tau/T_0)/2 = \pm0.1\)。 - **时间平移性质** 如果形成一个新的周期性信号 \(y(t) = x(t - \tau_d)\)，则其傅里叶系数 \(b_k\) 与原信号的傅里叶系数 \(a_k\) 之间的关系为 \(b_k = a_k e^{-j\omega_0 k\tau_d}\)。即时间平移会使傅里叶系数乘以一个复指数。 - **示例：延迟三角波** 考虑一个周期 \(T_0 = 0.04 s\) 的三角波 \(x(t)\)，其傅里叶级数系数 \(a_k\) 由公式给出，\(\omega_0 = 50\pi\)。延迟信号 \(y(t) = x(t - 0.01)\) 的傅里叶系数为 \(b_k = a_k e^{-j(50\pi)k(0.01)} = a_k e^{-j\pi k/2} = (-j)^k a_k\)，即： \[b_k = \begin{cases} j\frac{2(