机器学习中的数学基础与关键技术

### 机器学习中的数学基础与关键技术 #### 一、牛顿法与梯度下降法 在机器学习模型参数更新的过程中，牛顿法是一种重要的方法。若 $\theta$ 是迭代 $t$ 时模型参数向量的值，$\theta^{(t + 1)}$ 是迭代 $t + 1$ 时模型参数的值，则有： \[C(\theta^{(t + 1)}) = C(\theta^{(t)})+\nabla C(\theta^{(t)})^T\Delta\theta+\frac{1}{2}\Delta\theta^TH(\theta^{(t)})\Delta\theta\] 其中 $\Delta\theta=\theta^{(t + 1)}-\theta^{(t)}$。对 $\theta^{(t + 1)}$ 求梯度并令其为 0，可得到： \[\nabla C(\theta^{(t)})+H(\theta^{(t)})\Delta\theta = 0\] 进而推出： \[\Delta\theta=-H(\theta^{(t)})^{-1}\nabla C(\theta^{(t)})\] 所以牛顿法的参数更新公式为： \[\theta^{(t + 1)}=\theta^{(t)}-H(\theta^{(t)})^{-1}\nabla C(\theta^{(t)})\] 牛顿法没有学习率，但也可以选择使用。与梯度下降法相比，牛顿法在处理非线性成本函数时方向更好，收敛到最小值所需的迭代次数更少。特别地，如果要优化的成本函数是二次成本函数（如线性回归中的成本函数），牛顿法理论上可以一步收敛到最小值。 然而，计算海森矩阵及其逆矩阵的计算量很大，尤其是当输入特征数量较多时，有时甚至难以计算。而且，有些函数的海森矩阵可能无法正确定义。因此，在大型机器学习和深度学习应用中，通常使用梯度下降法，特别是带有小批量的随机梯度下降法，因为它们的计算强度相对较低，并且在数据量较大时扩展性较好。 #### 二、约束优化问题 在约束优化问题中，除了需要优化的成本函数外，还需要遵循一组约束条件，这些约束条件可能是等式或不等式。 - **拉格朗日乘子法**：当要最小化一个受等式约束的函数时，可使用拉格朗日公式。例如，要在 $g(\theta)=0$（$\theta\in\mathbb{R}^{n\times1}$）的约束下最小化 $f(\theta)$，需要最小化函数 $L(\theta,\lambda)=f(\theta)+\lambda g(\theta)$。对拉格朗日函数 $L$ 关于组合向量 $\theta$ 和 $\lambda$ 求梯度并令其为 0，即可得到满足约束条件的使 $f(\theta)$ 最小的 $\theta$，其中 $\lambda$ 称为拉格朗日乘子。如果有多个约束条件，则需要为每个约束条件添加一个单独的拉格朗日乘子。 - **Karush - Kuhn - Tucker（KKT）方法**：拉格朗日乘子法不能直接用于不等式约束的情况，此时可以使用更通用的 KKT 方法。假设要最小化成本函数 $C(\theta)$（$\theta\in\mathbb{R}^{n\times1}$），同时存在 $k$ 个关于 $\theta$ 的约束条件，可将每个不等式约束转换为标准形式（即某个函数小于或等于 0），用 $g_i(\theta)$ 表示，用 $e_j(\theta)$ 表示严格等式约束。此时需要最小化的成本函数为： \[L(\theta,\alpha,\beta)=C(\theta)+\sum_{i = 1}^{k_1}\alpha_ig_i(\theta)+\sum_{j = 1}^{k_2}\beta_je_j(\theta)\] 其中 $\alpha_i$ 和 $\beta_j$ 是拉格朗日乘子。要解决这个问题，在最小值点需要满足以下 KKT 条件： - $\nabla_{\theta}L(\theta,\alpha,\beta)=0$，即 $\nabla C(\theta)+\sum_{i = 1}^{k_1}\alpha_i\nabla g_i(\theta)+\sum_{j = 1}^{k_2}\beta_j\nabla e_j(\theta)=0$。 - $\nabla_{\beta}L(\theta,\alpha,\beta)=0$，即 $\nabla C(\theta)+\sum_{i = 1}^{k_1}\alpha_i\nabla g_i(\theta)+\sum_{j = 1}^{k_2}\beta_j\nabla e_j(\theta)=0$。 - 不等式条件在最小值点变为等式条件，且不等式拉格朗日乘子非负，即 $\alpha_ig_i(\theta)=0$ 且 $\alpha_i\geq0$，$i = 1,2,\cdots,k_1$。 #### 三、降维方法 降维是机器学习中的重要技术，主要介绍主成分分析（PCA）和奇异值分解（SVD）两种常用的降维技术。 - **主成分分析（PCA）** - **原理**：PCA 旨在找到 $n$ 维平面中按方差递减顺序排列的独立方向（即这些方向之间的协方差为 0）。假设数据有 $m$ 个样本 $x^{(i)}\in\mathbb{R}^{n\times1}$，首先将数据向量的均值 $\mu$（$E[x]=\mu$）减去，使数据以原点为中心。设 $a_1$ 是数据方差最大