MATLAB在函数极值、篮球初速度分析及方程求解中的应用

### MATLAB在函数极值、篮球初速度分析及方程求解中的应用 #### 1. 单变量函数的极值求解 在MATLAB中，可以通过以下代码来求解单变量函数的极值： ```matlab syms x real f= input('Enter the function f(x):'); fx= diff(f,x) c = solve(fx) cmin = min(double(c)); cmax = max(double(c)); ezplot(f,[cmin-2,cmax+2]) hold on fxx= diff(fx,x) for i = 1:1:size(c) T1 = subs(fxx, x ,c(i) ); T3= subs(f, x, c(i)); if (double(T1)==0) sprintf('The point x is %d inflexion point',double (c(i))) else if (double(T1) < 0) sprintf('The maximum point x is %d', double(c(i))) sprintf('The value of the function is %d', double (T3)) else sprintf('The minimum point x is %d', double(c(i))) sprintf('The value of the function is %d', double (T3)) end end plot(double(c(i)), double(T3), 'r*', 'markersize', 15); end pause h=ezplot(fx,[cmin-2,cmax+2]) set(h,'color','r') hold on pause e=ezplot(fxx,[cmin-4,cmax+4]) set(e,'color','g') hold off ``` 该代码的执行步骤如下： 1. 定义符号变量`x`。 2. 输入函数`f(x)`。 3. 计算函数的一阶导数`fx`。 4. 求解一阶导数为零的点`c`。 5. 找出这些点中的最小值`cmin`和最大值`cmax`。 6. 绘制函数曲线。 7. 计算函数的二阶导数`fxx`。 8. 遍历所有的驻点，根据二阶导数的值判断是极大值、极小值还是拐点，并输出相应信息。 9. 绘制一阶导数和二阶导数的曲线。 下面通过两个具体的例子来展示该代码的应用： - **例1：制作无盖盒子的最大容积问题** - 问题描述：用一张12英寸×12英寸的锡板，通过在四个角剪去相同的小正方形，然后折起四边制作一个无盖盒子，问剪去的小正方形边长为多少时，盒子的容积最大？ - 解决方案：盒子的容积`V(x) = x(12 - 2x)^2 = 4x^3 - 48x^2 + 144x`。 - 在命令窗口输入`Enter the function f(x):4*x^3-48*x^2+144*x`，运行代码后得到： - `fx = 12*x^2 - 96*x + 144` - `c = 2, 6` - `fxx = 24*x - 96` - 最大点`x = 2`，函数值为128；最小点`x = 6`，函数值为0。 - **例2：半圆内接矩形的最大面积问题** - 问题描述：在半径为2的半圆内接一个矩形，求矩形的最大面积及尺寸。 - 解决方案：设矩形的长为`2x`，高为`sqrt(4 - x^2)`，则面积`A(x) = 2x*sqrt(4 - x^2)`。 - 在命令窗口输入`Enter the function f(x):2*x*sqrt(4-x^2)`，运行代码后得到： - `fx = 2*(4 - x^2)^(1/2) - (2*x^2)/(4 - x^2)^(1/2)` - `c = sqrt(2), -sqrt(2)` - 最大点`x = 1.414214e+000`，函数值为4；最小点`x = -1.414214e+000`，函数值为 -4。 在图形窗口中，蓝色曲线是函数曲线，红色曲线是导数曲线，绿色曲线是二阶导数曲线。 #### 2. 篮球初速度的分析 ##### 2.1 问题背景 篮球投篮是球员的基本练习，球从球员到篮筐的运动是抛体运动。通过分析篮球投篮问题，可以研究最佳角度、最小初速度与球员投篮前球的高度之间的关系。在这个案例中，忽略空气阻力和球的旋转力的影响。 ##### 2.2 方法步骤 - 已知有效水平距离为13英尺，有效垂直距离为3英尺。设球以初速度`v0`、角度`θ`抛出，水平初速度`v0x = v0*cos(θ)`，垂直初速度`v0y = v0*sin(θ)`。 - 球到达篮筐的时间`t`可以通过水平速度和水平距离表示为`t = 13 / (v0*cos(θ))`。 - 根据垂直方向的运动方程`3 = v0y*t - 0.5*g*t^2`，将`t`代入可得： - `3 = v0*sin(θ)*(13 / (v0*cos(θ))) - 0.5*g*(13 / (v0*cos(θ)))^2` - 化简得到`v0 = sqrt((169*g) / (2*cos^2(θ)*(13*tan(θ) - 3)))`。 - 当`θ = 55°`，`g = 32.2 ft/s^2`时，代入上式可得`v0 = 23 ft/s`。 ##### 2.3 MATLAB实现 算法步骤如下： 1. 开始。 2. 初始化重力加速度`g`的值。 3. 初始化垂直距离`vv`和水平距离`vh`的值。 4. 对角度`Q`从20°到80°进行循环。 5. 声明初速度`V