傅里叶级数：原理、示例与应用

# 傅里叶级数：原理、示例与应用 ## 1. 傅里叶级数概述 傅里叶级数理论指出，任何周期信号都可以由一系列谐波相关的正弦波之和来合成，即便这个合成和需要无穷多项。傅里叶理论主要包括分析和合成两个方面： - **傅里叶分析**：从信号 $x(t)$ 计算复振幅 $\{a_k\}$，通过以下积分实现： - **傅里叶分析积分公式**：$a_k = \frac{1}{T_0} \int_{0}^{T_0} x(t) e^{-j\omega_0 k t} dt$，其中 $\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0} = 2\pi F_0$ 是基波角频率，$T_0 = \frac{1}{F_0}$ 是周期信号 $x(t)$ 的基波周期，且 $x(t) = x(t + T_0)$ 对所有 $t$ 成立。 - **傅里叶合成**：从 $\{a_k\}$ 生成与 $x(t)$ 相同的周期信号，通过以下求和公式实现： - **傅里叶合成求和公式**：$x(t) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} a_k e^{j\omega_0 k t}$ 当信号 $x(t)$ 为实数时，复振幅具有共轭对称性，即 $a_{-k} = a_k^*$，此时合成公式变为实正弦波之和：$x(t) = A_0 + \sum_{k = 1}^{\infty} A_k \cos(\omega_0 k t + \phi_k)$，其中 $A_0 = a_0$，第 $k$ 项的振幅和相位来自极坐标形式 $a_k = \frac{1}{2} A_k e^{j\phi_k}$。 ## 2. 傅里叶级数推导 ### 2.1 傅里叶积分推导 傅里叶级数积分公式的推导基于复指数信号的一个简单性质：复指数信号在任意整数个完整周期上的积分值为零，即 $\int_{0}^{T_0} e^{j(2\pi/T_0) k t} dt = 0$（$k \neq 0$）。 设 $v_k(t) = e^{j\omega_0 k t}$，虽然 $v_k(t)$ 的最小周期为 $T_0/k$，但它也以 $T_0$ 为周期重复，即 $v_k(t + T_0) = v_k(t)$。 进一步推广，复指数信号具有正交性：$\int_{0}^{T_0} v_k(t) v_{\ell}^*(t) dt = \begin{cases} 0, & k \neq \ell \\ T_0, & k = \ell \end{cases}$ 假设合成求和公式 $x(t) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} a_k e^{j\omega_0 k t}$ 成立，将其两边乘以 $v_{\ell}^*(t)$ 并在 $[0, T_0]$ 上积分，利用正交性可得到 $a_{\ell}$ 的表达式，最终将 $\ell$ 替换为 $k$ 得到傅里叶分析积分公式。 需要注意的是，在推导过程中交换无穷求和与积分的顺序时，需要满足一定条件。若 $x(t)$ 是有界的光滑函数，且在一个周期内只有有限个间断点和零点，则可以进行交换。 ## 3. 傅里叶分析示例 ### 3.1 脉冲波 - **信号定义**：脉冲波在一个周期内的定义为 $x(t) = \begin{cases} 1, & 0 \leq |t| < \frac{\tau}{2} \\ 0, & \frac{\tau}{2} \leq |t| \leq \frac{T_0}{2} \end{cases}$。当 $\tau = \frac{T_0}{2}$ 时，脉冲波称为方波。 - **傅里叶系数推导**：使用傅里叶分析积分公式（为方便计算，采用 $\int_{-T_0/2}^{T_0/2}$ 区间），可得 $a_k = \begin{cases} \frac{\sin(\pi k \tau/T_0)}{\pi k}, & k = \pm1, \pm2, \pm3, \cdots \\ \frac{\tau}{T_0}, & k = 0 \end{cases}$。 - **频谱特性**：脉冲波的频谱包络为 $a(f) = \frac{\sin(\pi f \tau)}{\pi f T_0}$，具有主瓣和旁瓣。主瓣