信号分离的相关技术方法

### 信号分离的相关技术方法 在信号处理和数据分析领域，有多种技术可用于实现信号分离和特征提取，下面将详细介绍非负矩阵分解（NMF）、非负张量分解（NTF）以及深度神经网络（DNN）在这方面的应用。 #### 1. 非负矩阵分解（NMF） NMF 是一种将矩阵分解为两个非负矩阵的技术，常用于信号分离和特征提取。其更新规则基于不同的学习目标，具体如下表所示： | 学习目标 | 标准 NMF 更新规则 | | ---- | ---- | | 平方欧几里得距离（β = 2） | \(B \leftarrow B \odot \frac{XW^{\top}}{BWW^{\top}}, W \leftarrow W \odot \frac{B^{\top}X}{B^{\top}BW}\) | | KL 散度（β = 1） | \(B \leftarrow B \odot \frac{X}{BWW^{\top}}1W^{\top}, W \leftarrow W \odot B^{\top}\frac{X}{BW}B^{\top}1\) | | IS 散度（β = 0） | \(B \leftarrow B \odot \frac{(BW).[-2]\odot X)W^{\top}}{(BW).[-1]W^{\top}}, W \leftarrow W \odot B^{\top}((BW).[-2]\odot X)B^{\top}(BW).[-1]\) | 这里，\(A.[n]\) 表示元素为 \([A]_{ij}^n\) 的矩阵。特别地，平方欧几里得距离、KL 散度和 IS 散度分别是 β 散度在 β = 2、β = 1 和 β = 0 时的特殊情况。β - NMF 的一般解可以推导为： \(B \leftarrow B \odot \frac{(BW).[\beta - 2] \odot X)W^{\top}}{(BW).[\beta - 1]W^{\top}}\) \(W \leftarrow W \odot B^{\top}((BW).[\beta - 2] \odot X)B^{\top}(BW).[\beta - 1]\) 通过设置 β 的值，β - NMF 可以简化为 EU - NMF、KL - NMF 和 IS - NMF。 此外，在实际应用中，源分离问题通常是病态的，因此稀疏学习对于模型正则化至关重要。我们可以通过修改学习目标来引入稀疏性： \((\hat{B}, \hat{W}) = \arg \min_{B,W \geq 0} D(X \parallel BW) + \lambda \cdot g(W)\) 其中，\(g(\cdot)\) 是用于模型正则化的惩罚函数，\(\lambda\) 是正则化参数，用于平衡重建误差和惩罚函数之间的权衡。常见的惩罚函数选择包括 ℓ2 范数（也称为权重衰减）和 ℓ1 范数（也称为 Lasso）。以下是标准 NMF 和稀疏 NMF 在平方欧几里得距离和 KL 散度学习目标下的更新规则对比： | 类型 | 平方欧几里得距离 | KL 散度 | | ---- | ---- | ---- | | 标准 NMF | \(B \leftarrow B \odot \frac{XW^{\top}}{BWW^{\top}}, W \leftarrow W \odot \frac{B^{\top}X}{B^{\top}BW}\) | \(B \leftarrow B \odot \frac{X}{BWW^{\top}}1W^{\top}, W \leftarrow W \odot B^{\top}\frac{X}{BW}B^{\top}1\) | | 稀疏 NMF | \(B \leftarrow B \odot \frac{XW^{\top}+B\odot(1(BWW^{\top}\odot B))}{BWW^{\top}+B\odot(1(XW^{\top}\odot B))}, W \leftarrow W \odot \frac{B^{\top}X}{B^{\top}BW+\lambda}\) | \(B \leftarrow B \odot \frac{X}{BWW^{\top}+B\odot(1(1W^{\top}\odot B))}1W^{\top}+B\odot(1(\frac{X}{BWW^{\top}}\odot B)), W \leftarrow W \odot \frac{B^{\top}X}{B^{\top}1+\lambda}\) | 通过引入稀疏性，NMF 可以实现非负性和稀疏性的双重约束，从而提高系统性能的鲁棒性。 #### 2. 非负张量分解（NTF） NMF 主要对矩阵或二维张量进行双向分解，但在许多实际环境中，混合信号是通过多种方式观察和收集的，具有更高阶的维度。例如： - 视频：高度 × 宽度 × 时间 - 彩色图像：高度 × 宽度 × （红，绿，蓝） - 人脸：人物 × 姿势 × 光照 × 角度 - 立体声音频：通道 × 频率 × 时间 - 脑电图（EEG）：通道 × 时间 × 试验 - 文本：用户 × 查询 × 网页 - 社交网络：得分 × 对