二维和三维偏微分方程耦合求解及生命科学中常微分方程问题的解决

### 二维和三维偏微分方程耦合求解及生命科学中常微分方程问题的解决 #### 1. 二维和三维偏微分方程耦合求解 在求解二维和三维偏微分方程时，有几个具体的问题和解决方法值得探讨。 ##### 1.1 获取相同网格点的 v 值 要在与 u 相同的网格点上获取 v 值，可以输入以下命令： ```matlab >> T_table=tri2grid(p,t,u(length(p)+1:end,end),x,y) ``` 示例结果如下： ``` T_table = 0.6579 0.5915 0.5968 0.6582 0 0.6042 0.4892 0.5073 0.6234 0 0.5435 0.3806 0.4187 0.5825 0 0.6028 0.4878 0.5063 0.6185 0 0.6570 0.5909 0.5954 0.6542 0 ``` ##### 1.2 保存 PDE 求解程序 PDE 建模器会自动生成一个包含求解步骤命令的文件。保存程序的操作步骤如下： 1. 选择弹出文件菜单中的“另存为…”选项。 2. 在出现的“另存为”面板的“文件名：”字段中输入“ApExample_9_1”。 3. 打开保存的文件，在 MATLAB 编辑器窗口中，将函数定义行中的默认名称替换为“ApExample_9_1”，确保文件名与函数名匹配。 ##### 1.3 带椭圆孔平板的振动问题 问题描述：求解一个 2×4×0.3 的矩形平板（中心位于 x = 1 和 y = 2.6 处有一个半长轴为 0.3 和 0.4 的椭圆孔）的无量纲 3D 波动方程。 ```matlab clear,close all model=createpde; a_r=2;b_r=4;c_r=0.3; % slab parameters R1=[3,4,0,0,a_r,a_r,0,b_r,b_r,0]’; % slab e2=[4,a_r/2,b_r/2+0.6,0.3,0.4,0,0,0,0,0]’; % elliptic hole gd = [R1,e2]; % geometry matrix sf = ‘R1-e2’; % formula set ns = char(‘R1’,’e2’)’; % geometric shape names g=decsg(gd,sf,ns); % decomposed geometry gm=geometryFromEdges(model,g); % geometry to model pdegplot(model,’EdgeLabels’,’on’,’FaceLabels’,’on’) % 2D plot axis equal gm=extrude(gm,c_r); % extrudes 2D object vertically to a height=c_r model.Geometry=gm; % passes created 3D discrete geometry to model pdegplot(gm,’FaceLabels’,’on’,’FaceAlpha’,0.5) % 3D geometry plot applyBoundaryCondition(model,”dirichlet”,’Face’,5,’u’,0); u0=0;du0=@(location,state)location.x./2; setInitialConditions(model,u0,du0); specifyCoefficients(model,’m’,1,’d’,0,”a”,0,”c”,1,”f”,0,’ Cell’,1); generateMesh(model); figure pdemesh(model) tlist=linspace(0,5,21); res=solvepde(model,tlist); u=res.NodalSolution; figure subplot(2,2,1) pdeplot3D(model,’ColorMapData’,u(:,5)) title([‘Time =‘,num2str(tlist(5))]) subplot(2,2,2) pdeplot3D(model,’ColorMapData’,u(:,11)) title([‘Time =‘,num2str(tlist(11))]) subplot(2,2,3) pdeplot3D(model,’ColorMapData’,u(:,17)) title([‘Time =‘,num2str(tlist(17))]) subplot(2,2,4) pdeplot3D(model,’ColorMapData’,u(:,end)) title([‘Time =‘,num2str(tlist(end))]) ``` 操作步骤： 1. 清除工作区，关闭所有图形窗口，创建模型对象。 2. 绘制带椭圆孔的矩形平板，将二维对象垂直拉伸为三维对象，并显示二维和三维几何图形。 3. 指定边界条件（Dirichlet 条件和 Neumann 条件）和初始条件。 4. 指定波动方程的系数。 5. 生成四面体网格并绘制。 6. 求解偏微分方程，获取节点解。 7. 在同一图形窗口中绘制 1、2.5、4 和 5 时刻的结果。 ##### 1.4 电导率变化的平板中的电势问题 问题描述：求解一个 1x1x0.1 的导电平板（电导率 c(x,y,z) = 3.1 + sin(2πx) + cos(3πy) + sin(πz)）中的电势分布。 ```matlab clear,close all model=createpde; a_r=1;b_r=1;c_r=0.1; % plate parameters R1=[3,4,0,0,a_r,a_r,0,b_r,b_r,0]’; % square plate c1=[1,0.625,0.75,0.125,0,0,0,0,0,0]’; % circle hole 1 c2=[1,0.375,0.25,0.125,0,0,0,0,0,0]’; % circle hole 2 gd = [R1,c1,c2]; % geometry matrix sf = ‘R1-c1-c2’; % formula set ns = char(‘R1’,’c1’,’c2’)’; % ge ```