无监督学习：受限玻尔兹曼机与自编码器相关技术解析

### 无监督学习：受限玻尔兹曼机与自编码器相关技术解析 在机器学习领域，无监督学习是一个重要的研究方向，其中涉及到多种技术和算法，如马尔可夫链蒙特卡罗方法、受限玻尔兹曼机等。下面将详细介绍这些技术的原理、实现步骤以及相关代码示例。 #### 马尔可夫链蒙特卡罗方法基础 马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法是一类用于从概率分布中采样的算法。在使用 MCMC 方法时，需要满足一些条件以确保采样的有效性。 - **详细平衡条件**：在稳态下，概率分布需要满足详细平衡条件，即 $P(A)\sum_{B\neq A}P(B\rightarrow A)=P(B)P(A|B)$。这是概率分布平稳性的充分但非必要条件。这种形式在可能状态空间无限时，在数学上较为方便，因此在 MCMC 方法中被广泛应用。 - **马尔可夫链的条件** - **不可约性**：马尔可夫链应具备从一个状态转移到任何其他状态的能力。虽然我们通常希望以高概率探索给定状态的附近状态，但有时也需要进行跳跃，以探索可能的高概率区域。 - **非周期性**：马尔可夫链不应过于频繁地重复，否则将无法遍历整个状态空间。例如，在一个有 20 个状态的空间中，如果链在探索 5 个状态后就重复，那么就无法遍历所有 20 个状态，导致采样效果不佳。 #### 梅特罗波利斯算法 梅特罗波利斯算法是一种 MCMC 方法，它利用当前接受的状态来确定下一个状态。以下是该算法的详细实现步骤： 1. **初始化**：选择任意随机样本点 $X(1)$。 2. **生成下一个点**：选择条件依赖于 $X(1)$ 的下一个点 $X(2)$。可以从均值为 $X(1)$、方差为 $S(2)$ 的正态分布中选择 $X(2)$，即 $X(2)\sim Normal(X(1),S(2))$。选择合适的方差 $S(2)$ 非常关键，方差不宜过大或过小。过大的方差会使下一个样本远离当前样本，可能导致高概率区域无法被充分探索；过小的方差则会使下一个样本几乎总是靠近当前点，降低探索不同高概率区域的可能性。 3. **判断是否接受**： - 如果 $\frac{P(X(2))}{P(X(1))}\geq1$，则接受 $X(2)$ 作为有效样本点，并将其作为生成下一个样本的 $X(1)$。 - 如果 $\frac{P(X(2))}{P(X(1))}<1$，则当该比值大于从均匀分布 $U[0,1]$ 中随机生成的数时，接受 $X(2)$。 下面是使用梅特罗波利斯算法从二元高斯分布中采样的 Python 代码示例： ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Now let’s generate this with one of the Markov Chain Monte Carlo methods called Metropolis # Hastings algorithm # Our assumed transition probabilities would follow normal distribution X2 ~ # N(X1,Covariance= [[0.2 , 0],[0,0.2]]) import time start_time = time.time() # Set up constants and initial variable conditions num_samples = 100000 prob_density = 0 ## Plan is to sample from a Bivariate Gaussian Distribution with mean (0,0) and covariance of ## 0.7 between the two variables mean = np.array([0, 0]) cov = np.array([[1, 0.7], [0.7, 1]]) cov1 = np.matrix(cov) mean1 = np.matrix(mean) x_list, y_list = [], [] accepted_samples_count = 0 ## Normalizer of the Probability distibution ## This is not actually required since we are taking ratio of probabilities for inference normalizer = np.sqrt(((2 * np.pi) ** 2) * np.linalg.det(cov)) ## Start wtih initial Point (0,0) x_initial, y_initial = 0, 0 x1, y1 = x_initial, y_initial for i in range(num_samples): ## Set up the Conditional Probability distribution, taking the existing point ## as the mean and a small variance = 0.2 so that points near the existing point ## have a high chance of getting sampled. mean_trans = np.array([x1, y1]) cov_trans = np.array([[0.2, 0], [0, 0.2]]) x2, y2 = np.random.multivariate_normal(mean_trans, cov_trans).T X = np.array([x2, y2]) X2 = np.matrix(X) X1 = np.matrix(mean_trans) ## Compute the probability density of the existing point and the new sampled ## point mahalnobis_dist2 = (X2 - mean1) * np.linalg.inv(cov) * (X2 - mean1).T prob_density2 = (1 / float(normalizer)) * np.exp(-0.5 * mahalnobis_dist2) mahalnobis_dist1 = (X1 - mean1) * np.linalg.inv(cov) * (X1 - mean1).T prob_density1 = (1 / ```