随机微分方程的微扰理论

### 随机微分方程的微扰理论 #### 1. 响应场矩的消失 响应场的所有矩都为零，即对于任意 \(n > 0\)，有： \(\frac{\delta^n}{\delta \tilde{j}(t_1) \cdots \delta \tilde{j}(t_n)} Z[0, \tilde{j}] = \langle\tilde{x}(t_1) \cdots \tilde{x}_n(t_n)\rangle\equiv0\) 这一性质不依赖于微扰展开，而是直接由作用量的结构得出，即源场 \(\tilde{j}\) 等价于确定性函数 \(f\) 中的一个加性项。 #### 2. 时域和频域中随机微分方程的费曼规则 ##### 2.1 时域费曼规则 首先，将任意给定的作用量通过泰勒展开转化为场的代数形式，得到一个具有线性可解部分和附加非线性项的随机微分方程，例如： \(dx(t) + x(t) dt - \frac{\alpha}{2!}x^2(t) dt = dW(t)\) 作用量为 \(S[x, \tilde{x}] = S_0[x, \tilde{x}] - \frac{\alpha}{2!} \tilde{x}^T x^2\)，其中 \(S_0[x, \tilde{x}] = \tilde{x}^T(\partial_t + 1) x + \frac{D}{2} \tilde{x}^T \tilde{x}\) 是高斯部分。对应的传播子在频域中由 \(m = -1\) 的 (8.11) 式给出。 对于包含相互作用顶点的费曼图修正，以一阶微扰修正为例，其对均值的贡献为： \(\langle x(t) \rangle = \frac{\delta}{\delta j(t)} Z[j, \tilde{j}] \big|_{j = \tilde{j} = 0} = \frac{\alpha D}{4}\) 这个值与时间 \(t\) 无关，且与未扰动系统中方差的预期值相符。 ##### 2.2 频域费曼规则 对于时间平移不变的问题，频域表述通常会得到更简单的表达式。将相互作用顶点用场的傅里叶变换表示，得到： \(F \to \begin{matrix} X(\omega_2) \\ \tilde{X}(\omega_1) \\ X(\omega_3) \end{matrix} = -\frac{\alpha}{2!} \int \frac{d\omega_1}{2\pi} \frac{d\omega_2}{2\pi} \frac{d\omega_3}{2\pi} \int dt e^{i(\omega_1 + \omega_2 + \omega_3)t} \frac{1}{2\pi} \delta(\omega_1 + \omega_2 + \omega_3) \tilde{X}(\omega_1) X(\omega_2) X(\omega_3)\) \(= -\frac{\alpha}{2!} \int \frac{d\omega_1}{2\pi} \frac{d\omega_2}{2\pi} \tilde{X}(\omega_1) X(\omega_2) X(-\omega_1 - \omega_2)\) 从狄拉克 - δ 函数可知，每个顶点处的频率之和必须为零。频域费曼规则总结如下： - 以 \(J(\omega)\) 结尾的外部腿连接到图内的变量 \(X(-\omega)\)，对于 \(\tilde{J}(\omega)\) 和 \(\tilde{X}(-\omega)\) 同理。 - 在每个顶点处，流入顶点的所有 \(\omega\) 之和必须为零。 - 进入传播子线的频率也必须流出。 - 考虑所有频率守恒约束后，独立的 \(\omega\) 积分数量等于 \((2\pi)^{-1}\) 的因子数量。 - \(\omega\) 积分的数量必须对应于环的数量。 以一阶修正为例，其形式为： \(J(-\omega) = \int \frac{d\omega}{2\pi} J(-\omega) \int \frac{d\omega}{2\pi} 2\pi\delta(\omega + \omega') \langle x \tilde{x}(\omega) \rangle \int \frac{d\omega_1}{2\pi} \frac{d\omega_2}{2\pi} (-\frac{\alpha}{2!}) 2\pi\delta(\omega + \omega_1 + \omega_2) 2\pi\delta(\omega_1 + \omega_2) \langle xx(\omega_1) \rangle\) \(= \int \frac{d\omega}{2\pi} J(-\omega) 2 \langle x \tilde{x}(\omega) \rangle (-\frac{\alpha}{2!}) \int \frac{d\omega_1}{2\pi} \langle xx(\omega_1) \rangle\) \(= \int \frac{d\omega}{2\pi} J(-\omega) 2\pi \delta(\omega) (-i\omega - 1)^{-1} (-\frac{\alpha}{2!}) \int \frac{d\omega_1}{2\pi} (-i\omega_1 - 1)^{-1} D (i\omega_1 - 1)^{-1}\) \(= J(0) \frac{\alpha}{2!} \int \frac{d\omega_1}{2\pi} (-i\omega_1 - 1)^{-1} D (i\omega_1 - 1)^{-1}\) 通过留数定理计算积分： \(\frac{1}{2\pi} \int d\omega_1 (-i\omega_1 - 1)^{-1} D (i\omega_1 - 1)^{-1} = \frac{D}{2}\) 最终得到的修正值与在时域中得到的结果相同，即 \(\langle x(t) \rangle = \frac{\alpha D}{4}\)。 #### 3. 具有多个外部腿的图 在计算具有多个外部腿的图时，\(n\) 重相同类型的外部腿 \(j\) 对应 \(n\) 个时间积分和一个因子 \(n!^{-1}\)。以计算过程方差的修正图为例，先计算 \(j\) 相关的贡献，再对结果求关于 \(j\) 的导数以得到累积量的修正。 例如，一个对过程方差修正有贡献的图为： \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \begin{matrix} \Delta xx \\ \Delta xx \\ \Delta \tilde{x}x \\ \Delta \tilde{x}x \end{matrix} \begin{matrix} j(t) \\ j(s) \end{matrix} = \frac{1}{2!} \int dt ds j(t) j(s) \times 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \fra