马尔可夫神经网络的局部同步研究

# 马尔可夫神经网络的局部同步研究 ## 1. 局部同步概念与预备知识 在神经网络领域中，同步问题一直是研究的重点。其中，局部同步是指在一个组内所有节点能够实现同步，但整个网络却无法达到同步的现象。这种同步在工程应用中有着重要的意义，例如在脑科学、声誉评估和安全通信等方面。 当满足一定条件时，局部随机同步会转变为完全随机同步，所以完全同步可视为局部同步的一种特殊情况。目前，对于具有时滞的马尔可夫中立型复杂网络的局部随机同步研究较少，因为在大多数情况下，马尔可夫系统的转移率是未知的。为了填补这一领域的空白，研究人员采用了增强的Lyapunov - Krasovskii泛函和互凸组合技术来研究具有马尔可夫参数和部分转移率信息的中立型复杂网络，并得出了相应的局部随机同步准则。 ### 1.1 马尔可夫中立型神经网络模型 考虑如下具有时变时滞的马尔可夫中立型神经网络： \(\dot{x}(t) - D_i \dot{x}(t - \sigma(t)) = -C_i x(t) + A_i f(x(t)) + B_i f(x(t - \tau(t))) + U(t)\)，其中 \(i = 1, 2, 3\)。 这里： - \(x(t) = \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix}\) - \(f(x(t)) = \begin{bmatrix} \tanh(x_1(t)) \\ \tanh(x_2(t)) \end{bmatrix}\) - \(\tau(t) = 1.6 + 0.2\sin(2t)\) - \(\sigma(t) = 0.4 + 0.3\sin(t)\) 各个参数矩阵如下： | \(i\) | \(C_i\) | \(A_i\) | \(B_i\) | \(D_i\) | \(U(t)\) | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 1 | \(\begin{bmatrix} 0.9 & 0 \\ 0 & 0.9 \end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix} 2.0 & -0.1 \\ -5 & 4.5 \end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix} -3.1 & 0.1 \\ 0.1 & -1.9 \end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix} -0.1 & 0.2 \\ 0.3 & -0.1 \end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix} 0.3 \\ 0.15 \end{bmatrix}\) | | 2 | \(\begin{bmatrix} 1.1 & 0 \\ 0 & 1.0 \end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix} 2.1 & -0.2 \\ -4.9 & 4.3 \end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix} -2.9 & -0.2 \\ 0.1 & -2.3 \end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix} -0.2 & 0.3 \\ 0.2 & -0.3 \end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix} 0.3 \\ 0.15 \end{bmatrix}\) | | 3 | \(\begin{bmatrix} 1.0 & 0 \\ 0 & 1.2 \end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix} 1.9 & -0.4 \\ -5.1 & 3.9 \end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix} -3.0 & -0.1 \\ -0.2 & -3.0 \end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix} -0.2 & 0.4 \\ 0.3 & -0.1 \end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix} 0.3 \\ 0.15 \end{bmatrix}\) | 当初始值 \(x(t) = \begin{bmatrix} 0.4 \\ 0.6 \end{bmatrix}\) 时，该系统的轨迹如图3.1、3.2和3.3所示，分别展示了 \(i = 1\)、\(i = 2\) 和 \(i = 3\) 模式下的混沌轨迹。 ### 1.2 马尔可夫耦合中立型神经网络模型 接着考虑马尔可夫耦合中立型神经网络： \(\dot{x}_k(t) - D_i \dot{x}_k(t - \sigma(t)) = -C_i x_k(t) + A_i f(x_k(t)) + B_i f(x_k(t - \tau(t))) + U_k(t)\) \( + \sum_{l = 1}^{4} G_{kl,i}^{(1)} \Gamma_{1,i} x_l(t) + \sum_{l = 1}^{4} G_{kl,i}^{(2)} \Gamma_{2,i} x_l(t - \tau(t)) + \sum_{l = 1}^{4} G_{kl,i}^{(3)} \Gamma_{3,i} \int_{t - \tau(t)}^{t} x_l(s) ds\)，其中 \(k = 1, 2, 3, 4\)。 相关参数矩阵如下： - \(G_1^{(q)} = \begin{bmatrix} -15.0 & 11.6 & 1.7 & 1.7 \\ 11.6 & -15.0 & 1.7 & 1.7 \\ 0.01 & 0.01 & -0.04 & 0.02 \\ 0.01 & 0.01 & 0.02 & -0.04 \end{bmatrix}\) - \(G_2^{(q)} = \begin{bmatrix} -16.0 & 13.1 & 1.45 & 1.45 \\ 13.1 & -16.0 & 1.45 & 1.45 \\ 0.02 & 0.02 & -0.05 & 0.01 \\ 0.02 & 0.02 & 0.01 & -0.05 \end{bmatrix}\) - \(G_3^{(q)} = \begin{bmatrix} -17.0 & 12.5 & 2.25 & 2.25 \\ 12.5 & -17.0