有效作用量的逐圈展开：原理与实例

### 有效作用量的逐圈展开：原理与实例 在物理研究中，我们常常需要处理复杂的系统，而这些系统往往伴随着各种波动。为了更精确地描述这些系统，我们会使用一些近似方法。其中，树级近似、平均场近似或稳相近似是常用的手段，这些近似方法只考虑了 -S 中的原始相互作用顶点。 #### 1. 波动与圈数的关联 在深入研究波动之前，我们先来探讨一下波动强度与费曼图拓扑特征——圈数之间的联系。为了简化问题，我们考虑一个包含高斯部分 $-\frac{1}{2}x^TAx$ 和高阶微扰势 $V(x)$ 的系统。引入参数 $l$ 来衡量系统的尺度，当 $l$ 很大时，$x$ 的波动 $\delta x = x - \langle x \rangle$ 很小，且 $\delta x \propto \frac{1}{\sqrt{l}}$。这是因为在小波动情况下，二次项 $-\frac{1}{2}x^TAx$ 主导了高阶的 $V(x)$，并且方差 $\langle \delta x^2 \rangle = A^{-1} \propto l^{-1}$。 我们对积分 $W(j) \propto \ln \int dx \exp \left( -\frac{1}{2}x^T A x + V(x) + j^Tx \right)$ 在 $x = 0$ 附近进行展开。通过变量代换 $\sqrt{l}x \equiv y$，可以发现参数 $l$ 会抑制高次 $x$ 收缩的贡献。具体来说，一个图中所有顶点的 $x$ 总幂次为 $x^n$ 的贡献与 $l^{-\frac{n}{2}}$ 成正比（$n$ 为偶数），因为每一对 $x$ 的收缩会产生一个 $l^{-1}$ 的因子。 从图的层面来看，参数 $l$ 对费曼图中的传播子和顶点的缩放方式不同。传播子 $\Delta = (la)^{-1} = \frac{1}{l} a^{-1} \propto l^{-1}$，顶点 $lv(n) \propto l$。构建一个具有 $n_V$ 个顶点和 $n_j$ 个外部腿的连通图时，我们可以发现圈数 $n_L$ 与内部线条数 $n_{int}'$ 和顶点数 $n_V$ 之间的关系为 $n_L = n_{int}' - n_V + 1$。图的前置因子为 $l^{n_V - n_{int}'} l^{-n_j} = l^{1 - n_L - n_j}$。这表明，累积量会随着外部腿数 $n_j$ 的增加而被 $l^{-n_j}$ 抑制，并且对于给定阶数的累积量，图的贡献会随着圈数 $n_L$ 的增加而减小。 下面是圈数计算的流程图： ```mermaid graph TD A[开始] --> B[确定顶点数 nV 和外部腿数 nj] B --> C[连接外部腿到顶点，产生贡献 ∝ 1/l] C --> D[连接顶点形成连通图，至少需要 nV - 1 条内部线] D --> E[收缩剩余顶点腿，每收缩一次增加一个圈] E --> F[计算圈数 nL = nint' - nV + 1] F --> G[结束] ``` #### 2. 有效作用量的逐圈展开 接下来，我们利用圈展开的方法系统地计算对 $\Gamma$ 的修正。已知最低阶时 $\Gamma_0(x^*) = -S(x^*) + \ln Z(0)$，通过对波动进行泰勒展开，我们得到了一个关于 $\Gamma_{fl}(x^*)$ 的隐式方程： $\exp \left( -\Gamma_{fl}(x^*) \right) = \int d\delta x \exp \left( \frac{1}{2}\delta x^T S^{(2)}(x^*) \delta x + R(x^*, \delta x) + \Gamma_{fl}^{(1)T}(x^*) \delta x \right)$ 这个方程表明，将 $\Gamma$ 分解为树级部分和波动修正部分是有用的，它只包含了 $\Gamma_{fl}$ 和作用量的部分，这些部分定义了我们所研究的系统。 为了进一步处理这个方程，我们引入参数 $l$，将其重写为 $-l\gamma_{fl}(x^*) = \ln \int d\delta x \exp \left( l \left( \frac{1}{2}\delta x^T s^{(2)}(x^*) \delta x + r(x^*, \delta x) + \gamma_{fl}^{(1)T}(x^*) \delta x \right) \right)$，其中 $s^{(2)} = \frac{S^{(2)}}{l}$，$r = \frac{R}{l}$，$\gamma_{fl} = \frac{\Gamma_{fl}}{l}$。 我们通过归纳法逐圈计算 $\gamma_{fl}$ 的贡献。零圈阶时，$\gamma_{fl}^0 = 0$。一圈阶时，$\gamma_{fl}^1(x^*) = -\frac{1}{l} \ln \int d\delta x \exp \left( \frac{1}{2}\delta x^T l s^{(2)}(x^*)