多元线性多项式的表示与因式分解

### 多元线性多项式的表示与因式分解 在数学领域中，多元线性多项式的表示与因式分解是一个重要的研究方向。本文将深入探讨多元线性多项式可表示性和可因式分解性的相关理论，并介绍判断多项式可因式分解性的算法。 #### 1. 多项式可表示性的判定定理 对于多项式 \(f \in F[X_1, \ldots, X_m]\)，有如下定理： - **定理 5.18**： - 若 \(f\) 可表示，则对于任意平方元组 \(\ell^2 \in F^m\)，\(Mult_{\xi^2}(f)\) 在模 \(I(\ell^2)\) 下可分解为系数在 \(F(\xi_1, \ldots, \xi_m)\) 中的线性因子的乘积。 - 若存在平方元组 \(\ell^2 \in F^m\)，使得 \(Mult_{\xi^2}(f)\) 在模 \(I(\ell^2)\) 下可分解为系数在 \(F[\xi_1, \ldots, \xi_m]\) 中的线性因子的乘积，则 \(f\) 可表示。 该定理给出了多项式 \(f\) 可表示的必要条件和充分条件，但这两个条件有所不同。必要条件要求分解的线性因子系数在 \(F(\xi_1, \ldots, \xi_m)\) 中，而充分条件要求系数在 \(F[\xi_1, \ldots, \xi_m]\) 中。 #### 2. 预备知识 在后续的讨论中，我们考虑的是系数在有限域 \(F\)（特征为 2）上的多元线性多项式 \(f \in F[X_1, \ldots, X_m]\)。 - **定理 5.16 的等价表述**：一个多元线性多项式 \(f\) 可表示当且仅当对于任意平方元组 \(\ell^2\)，存在线性多项式 \(L_1, \ldots, L_k\)，使得 \(f = Mult_{\ell^2}(L_1 \cdots L_k)\)，即 \(\pi_{\ell^2}(f) = \pi_{\ell^2}(L_1) \cdots \pi_{\ell^2}(L_k)\)。 - **可因式分解的定义**：一个多元线性多项式 \(f\) 是可因式分解的，如果存在平方元组 \(\ell^2\) 和线性多项式 \(L_1, \ldots, L_k\)，使得 \(f = Mult_{\ell^2}(L_1 \times \cdots \times L_k)\)。因此，定理 5.16 表明，一个多元线性多项式可表示当且仅当它可因式分解。 为了简化表示，我们引入两个特殊的元组 \(\overline{0} = (0, \ldots, 0)\) 和 \(\overline{1} = (1, \ldots, 1)\)，并定义 \(I_0 = I(\overline{0}) = \langle X_1^2, \ldots, X_m^2 \rangle\)，\(I_1 = I(\overline{1}) = \langle X_1^2 + 1, \ldots, X_m^2 + 1 \rangle\)。同时，我们用 \(lin(f)\) 表示 \(f\) 的线性部分（即次数至多为 1 的项的和），用 \(\frac{\partial f}{\partial X_i}\) 表示 \(f\) 关于变量 \(X_i\) 的偏导数。 #### 3. 可因式分解性的测试步骤 为了判断一个多元线性多项式是否可因式分解，我们分两步进行： - **第一步：处理估值为 1 的多项式**：对于估值为 1 的多元线性多项式（即无常数项但有一次项的多项式），有如下两个引理： - **引理 5.20**：设 \(f\) 是估值为 1 的多元线性多项式。若存在线性多项式 \(L_1, \ldots, L_k\)，使得 \(f = Mult_0(L_1 \times \cdots \times L_k)\)，则存在指标 \(j\) 和常数 \(\alpha \in F\)，使得 \(lin(f) = \alpha L_j\)。 - **引理 5.21**：设 \(f\) 是多元线性多项式，\(L\) 是无常数项且包含非零项 \(\alpha_i X_i\) 的线性多项式。若存在多元线性多项式 \(g\)，使得 \(f = Mult_0(L \times g)\)，则 \(f = Mult_0\left(L \times \frac{1}{\alpha_i} \frac{\partia