图信号处理在神经生理信号分析中的应用与关联

### 图信号处理在神经生理信号分析中的应用与关联 #### 1. 图傅里叶模式 在谱图理论中，图可分解为图傅里叶模式。图傅里叶变换（GFT）将空间信号 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{N_c}$ 投影到 $N_c$ 个图傅里叶模式上，这些模式可视为图的特征模式。 以一个真实的脑电图（EEG）数据集为例，该数据集记录了 20 名健康参与者和 20 名阿尔茨海默病患者的信号，使用 23 个双极通道以 2048 Hz 的采样率进行采集。为每个参与者从较大的记录中选取了三个 12 秒长的片段，不过有一名参与者少了一个片段。 下图展示了基于几何距离和基于功能连接性的图的最低和最高图傅里叶模式： |模式类型|模式 1|模式 2|模式 3|模式 22|模式 23| | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | |几何距离|a|b|c|d|e| |Pearson 相关性|f|g|h|i|j| 从图中可以看出，较低频率的模式是在整个大脑中传播的具有全局模式的“波”，而较高频率的模式是高度局部化且快速变化的波。对于基于几何距离的图，直流（DC）模式（即具有恒定条目的模式）是最低频率模式，但对于基于 Pearson 相关性的图并非如此，这是由于相关性图中存在负边权重，导致具有负特征值的特征模式频率低于特征值为零的 DC 模式。 将多变量信号投影到这些图傅里叶模式上得到的图频率信号，可能会提供比原始信号更深入的信息。例如，将多变量信号投影到 DC 模式对应于信号在各通道上的平均值。分析图频率信号在分类任务中的表现，有助于更深入理解图频率的含义。 DFT 傅里叶模式与 GFT 图傅里叶模式的一个主要区别在于与这些模式相关的特征值的大小。在 GFT 模式中，特征值可以取除 1 以外的值。因此，当使用图移位算子（GSO）作为时间演化算子时，特征模式系数可能会消失或爆炸，这与欧几里得空间中的移位算子不同，后者能确保特征模式系数在时间上保持恒定。 #### 2. 基于图的降维 GFT 将空间或多变量信号投影到图傅里叶模式上，这些投影被称为图频率信号。与未改变的时间信号不同，图频率信号可以进行排序，通过选择特定的图频率（如 k 个最低图频率），可以降低信号的维度。这种降维方法也可用于基于图的图像压缩。 类似于经典信号处理，图带限信号对应于空间域中的子采样。但与经典情况不同，对于给定频带的无损图采样需要复杂的算法，如 Anis 等人的贪心算法和 Puy 等人的随机采样方案。投影和图采样两种降维方法在 fMRI 分类任务中的评估结果表明，相对于无图降维方法的改进取决于所使用的图。对于某些类别的图，基于图信号处理（GSP）的降维等同于主成分分析（PCA）。 以下是基于图的降维流程： ```mermaid graph TD; A[输入空间或多变量信号] --> B[GFT投影到图傅里叶模式]; B --> C[得到图频率信号]; C --> D[对图频率信号排序]; D --> E[选择特定图频率]; E --> F[完成降维]; ``` #### 3. 图滤波 图滤波是一种可用于多变量信号图去噪等任务的变换。图去噪可以基于使用邻接矩阵或拉普拉斯矩阵的图频率响应滤波器。类似于带通傅里叶滤波，低通图滤波器可应用于输入信号进行图去噪。直观上，结构相连的传感器测量的值相似，因此高度相连的传感器之间的变化可能表示噪声。更正式地说，图滤波器可以最小化总变差（TV）。相反，相连传感器之间的变化也可能携带重要信息，此时高通图滤波器可能更合适。 图脉冲响应滤波器也可用于图去噪，但直观性较差。更复杂的方法是自适应学习图滤波器，已用于对脉冲 EEG 信号进行去噪。 在机器学习应用中，图滤波允许将卷积神经网络扩展到图上的数据。图神经网络中通常使用基于拉普拉斯矩阵的图脉冲响应滤波器，它可以在图上进行局部化。为了减少合适滤波器值的范围，滤波器的多项式通常被切比雪夫多项式取代，多项式脉冲滤波器也可以被自回归移动平均滤波器取代。图神经网络在 EEG 中已被用于检测情绪、分类错误相关电位或检测癫痫发作。 图滤波的应用场景如下： - 多变量信号图去噪 - 基于图频率响应滤波器（邻接矩阵或拉普拉斯矩阵） - 基于图脉冲响应滤波器 - 自适应学习图滤波器 - 机器学习应用 - 扩展卷积神经网络到图数据 - 用于 EEG 中的情绪检测、错误相关电位分类、癫痫发作检测等 #### 4. 总变差（TV）分析 TV 是一种衡量信号在图结构上变化程度的统计量。尽管之前研究的空间低通滤波器旨在降低信号在图上的 TV，但 TV 本身是图信号或整个多变量信号（在时间上求和）的有用统计量。例如，Mortaheb 等人发现意识水平与 TV 之间存在相关性，他们分析了 EEG 中基于传感器位置的几何图上的 alpha 波段信号，揭示了意识障碍如何影响大脑中的短程和长程通信。TV 还可用于提取分类任务的特征，如从 EEG 中提取运动想象任务的特征。 #### 5. 基于图信号处理（GSP）的图学习 类似于图去噪，基于 GSP 的图学习利用图结构与信号空间变化之间的联系，即信号在图结构上变化不大的概念。不同的是，图学习通过学习图结构来最小化 TV，即将 TV 作为以图结构为参数的可优化目标函数。还可以在目标函数中添加其他项来对图施加进一步的约束，例如要求图具有正权重且稀疏（即非零权重较少）。 Kalofolias 展示了一种常用图 $A_{exp} \in \mathbb{R}^{N\times N}$ 与总变差优化图之间的联系，该图由数据矩阵 $X$ 的行 $\mathbf{x}_{i*}$ 构建： \[a_{ij}^{(exp)} = \exp\left(-\frac{||\mathbf{x}_{i*}-\mathbf{x}_{j*}||_2^2}{\sigma}\right)\] 给定正则化项： \[f^{(log)}(\mathbf{A}) = \sigma^2 \sum_{i}\sum_{j} a_{ij}(\log(a_{ij}) - 1)\] 这个基于功能连接性的连接矩阵最小化了基于边的总变差： \[\arg\min_{\mathbf{A} \in \mathcal{A}} TV_{\mathbf{A}}^{(e)}(\mathbf{X}) + f^{(log)}(\mathbf{A}) = \mathbf{A}_{exp}\] 对于归一化的多变量信号 $\mathbf{X}_{norm}$，其中每个行 $\mathbf{x}_{i*}$ 对应于传感器 i 处的时间信号，被标准化为均值为 0 且标准差为 1。引入正则化项： \[f^{(c)}(\mathbf{A}) = \frac{1}{2} ||\mathbf{J}_N - \mathbf{A}||_F^2 = \frac{1}{2} \sum_{i}\sum_{j} (1 - a_{ij})^2\] 优化问题： \[\arg\min_{\mathbf{A} \in \mathcal{A}} TV_{\mathbf{A}}^{(e)}(\mathbf{X}_{norm}) + f^{(c)}(\mathbf{A})\] 的解是由相关矩阵 $\mathbf{A}_{corr}$ 给出的邻接矩阵，其中元素 $a_{ij}^{(c)}$ 是传感器 i 和 j 的归一化时间信号 $\mathbf{x}_{i*}$ 和 $\mathbf{x}_{j*}$ 之间的 Pearson 相关性。这表明相关矩阵 $\mathbf{A}_{corr}$ 在给定上述正则化项的情况下，最小化了归一化数据矩阵 $\mathbf{X}$ 的总边基变化，因此可以通过学习优化问题的解来得到。在实验中，通常对数据进行归一化并使用 Pearson 相关矩阵作为图。 #### 6. 图检索方法之间的联系 在图信号处理（GSP）中，存在多种图检索方法和图表示，这导致了很大的模糊性。本节主要探讨基于功能连接性的图与总变差优化图之间的联系。 对于常用图 $A_{exp}$，它由数据矩阵 $X$ 的行 $\mathbf{x}_{i*}$ 构建： \[a_{ij}^{(exp)} = \exp\left(-\frac{||\mathbf{x}_{i*}-\mathbf{x}_{j*}||_2^2}{\sigma}\right)\] 给定正则化项 $f^{(log)}(\mathbf{A})$，该基于功能连接性的连接矩阵最小化了基于边的总变差： \[\arg\min_{\mathbf{A} \in \mathcal{A}} TV_{\mathbf{A}}^{(e)}(\mathbf{X}) + f^{(log)}(\mathbf{A}) = \mathbf{A}_{exp}\] 对于归一化的多变量信号 $\mathbf{X}_{norm}$，引入正则化项 $f^{(c)}(\mathbf{A})$： \[f^{(c)}(\mathbf{A}) = \frac{1}{2} ||\mathbf{J}_N - \mathbf{A}||_F^2 = \frac{1}{2} \sum_{i}\sum_{j} (1 - a_{ij})^2\] 优化问题： \[\arg\min_{\mathbf{A} \in \mathcal{A}} TV_{\mathbf{A}}^{(e)}(\mathbf{X}_{norm}) + f^{(c)}(\mathbf{A})\] 的解是相关矩阵 $\mathbf{A}_{corr}$，其元素 $a_{ij}^{(c)}$ 是传感器 i 和 j 的归一化时间信号之间的 Pearson 相关性。这意味着相关矩阵 $\mathbf{A}_{corr}$ 在给定正则化项的情况下，最小化了归一化数据矩阵 $\mathbf{X}$ 的总边基变化，可通过学习优化问题的解来获取。 #### 7. 图表示之间的联系 在 GSP 中，使用邻接矩阵或拉普拉斯矩阵作为图移位算子（GSO）都有各自的理由，并且在文献中都经常被使用。Huang 等人通过直接比较发现，使用邻接矩阵或拉普拉斯矩阵作为 GSO 没有明显差异。 假设邻接矩阵的权重服从均值为 $\mu$、标准差为 $\sigma$ 的正态分布，则对角矩阵的元素为： \[d_i = \sum_{j} a_{ij} = \mu(N - 1) + \epsilon_i\] 其中 $\epsilon_i \sim N(0, \sigma_{diag}^2)$，且 $\sigma_{diag} = \sigma\sqrt{N - 1}$。对于足够大的 $N$，对角元素 $d_i$ 的标准差远小于该行非对角元素的预期幅度之和。因此，拉普拉斯矩阵 $\mathbf{L}$ 可以近似为矩阵 $\mathbf{L}'$： \[\mathbf{L} = \mathbf{D} - \mathbf{A} \approx \mu(N - 1)\mathbf{1} - \mathbf{A} =: \mathbf{L}'\] 由于邻接矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征向量 $\mathbf{u}_k$ 也是 $\mathbf{L}'$ 的特征向量，基于邻接矩阵和基于拉普拉斯矩阵的 GFT 是相似的。这种正态性假设对于具有负权重的高度互连网络是一个很好的近似。 综上所述，图信号处理在神经生理信号分析中具有重要的应用价值，通过图傅里叶模式、降维、滤波等方法，可以深入挖掘神经生理信号中的信息，为神经科学研究和临床应用提供有力支持。同时，理解图检索方法和图表示之间的联系，有助于减少 GSP 中的模糊性，提高分析的准确性和可靠性。 ### 图信号处理在神经生理信号分析中的应用与关联 #### 8. 图信号处理技术总结 为了更清晰地展示图信号处理在神经生理信号分析中的各项技术及其特点，我们整理了如下表格： |技术名称|作用|应用场景|相关特点| | ---- | ---- | ---- | ---- | |图傅里叶模式|将图分解，投影多变量信号获取图频率信号|分析神经生理信号特征|低频全局、高频局部；GFT 特征值与 DFT 有差异| |基于图的降维|降低信号维度|信号处理、图像压缩|可排序选择特定频率降维；无损采样需复杂算法| |图滤波|多变量信号去噪，扩展神经网络|信号去噪、机器学习|多种滤波器类型；图神经网络可用于 EEG 多种检测| |总变差（TV）分析|衡量信号在图结构上的变化|分析意识水平、提取分类特征|与意识水平相关；可用于运动想象任务特征提取| |基于 GSP 的图学习|学习图结构以最小化 TV|图构建|可添加约束；与功能连接性图有联系| #### 9. 图信号处理流程示例 下面我们通过一个 mermaid 格式的流程图来展示一个完整的图信号处理流程： ```mermaid graph LR; A[神经生理信号采集] --> B[信号预处理]; B --> C[图构建]; C --> D[图傅里叶变换]; D --> E[图频率信号分析]; E --> F[降维处理]; F --> G[图滤波]; G --> H[特征提取（如 TV 分析）]; H --> I[分类或其他应用]; ``` #### 10. 操作步骤总结 在实际应用图信号处理技术时，可参考以下操作步骤： 1. **信号采集**：使用合适的设备（如 EEG 传感器）采集神经生理信号。 2. **预处理**：对采集到的信号进行必要的预处理，如归一化等。 3. **图构建**：根据需求选择合适的图构建方法，如基于几何距离或功能连接性构建图。 4. **图傅里叶变换**：将信号投影到图傅里叶模式上，得到图频率信号。 5. **图频率信号分析**：分析图频率信号的特征，如低频和高频模式的特点。 6. **降维处理**：根据图频率信号的排序，选择特定频率进行降维。 7. **图滤波**：使用合适的滤波器（如低通、高通、脉冲响应滤波器等）对信号进行滤波。 8. **特征提取**：通过 TV 分析等方法提取信号的特征。 9. **应用**：将处理后的信号应用于分类、检测等任务。 #### 11. 不同图构建方法对比 为了更好地理解不同图构建方法的差异，我们对比了基于几何距离和基于功能连接性的图构建方法： |构建方法|优点|缺点|适用场景| | ---- | ---- | ---- | ---- | |基于几何距离|直观反映传感器位置关系；DC 模式为最低频率模式|未考虑信号功能关系|对传感器空间布局敏感的分析| |基于功能连接性|反映信号之间的功能联系；可发现潜在神经活动关系|存在负边权重，DC 模式不一定是最低频率模式|分析神经信号功能交互的场景| #### 12. 未来展望 图信号处理在神经生理信号分析领域已经取得了显著的成果，但仍有许多方面值得进一步探索。例如，如何更有效地处理大规模的神经生理信号数据，提高图构建和处理的效率；如何结合深度学习等新兴技术，进一步提升神经生理信号分析的准确性和可靠性；如何将图信号处理技术更好地应用于临床诊断和治疗等。随着技术的不断发展和研究的深入，相信图信号处理将在神经科学领域发挥更加重要的作用。 综上所述，图信号处理为神经生理信号分析提供了一套强大的工具和方法。通过深入理解图傅里叶模式、降维、滤波等技术，以及图检索方法和图表示之间的联系，我们能够更有效地挖掘神经生理信号中的信息，为神经科学研究和临床应用带来新的突破。在实际应用中，我们可以根据具体需求选择合适的技术和方法，并按照一定的操作步骤进行处理，以获得更好的分析结果。