神经网络构建与实现：从设计到代码

### 神经网络构建与实现：从设计到代码 #### 1. 神经网络概述与目标 神经网络比感知机强大得多，感知机需要线性可分的简单数据，而神经网络可以处理复杂的数据，如现实世界物体的照片。在MNIST这样简单的数据集上，感知机每识别十个字符几乎会出现一个错误，而我们的目标是构建一个MNIST分类器，达到99%的准确率，即每识别100个字符只出现一个错误。 为了实现这个目标，我们制定了以下计划： - 设计一个能对MNIST数字进行分类的神经网络。 - 编写神经网络的分类代码。 - 编写神经网络的训练代码。 #### 2. 从感知机构建神经网络 我们从已有的感知机开始构建神经网络。在之前，我们以两种不同的方式组合感知机：一是同时用多个MNIST图像训练感知机；二是用十个感知机对十个可能的数字进行分类。实际上，我们是使用矩阵来实现类似“堆叠”和“并行化”感知机的效果。现在，我们将这些扩展后的感知机作为构建神经网络的基础。 #### 3. 链式感知机构建神经网络 通过串联两个感知机可以构建一个神经网络。每个感知机有自己的权重和Sigmoid操作，第一个感知机的输出是第二个感知机的输入。这种结构过去被称为多层感知机或人工神经网络，现在通常称为神经网络。该网络有三层：输入层、隐藏层和输出层。 隐藏层的节点（除了偏置节点）由输入层的节点计算得出。输入层和隐藏层都有一个偏置节点，其值固定为1。需要注意的是，当我们说“某层有10个节点”时，意味着该层由一个有10列的矩阵表示，行数根据需要而定。有时人们会将神经网络中的节点称为神经元，严格来说，神经元不仅包括节点，还包括影响其值的前一层节点和中间的操作。层与层之间的函数称为激活函数，在我们设计的网络中，最初两层的激活函数都是Sigmoid函数。 #### 4. 确定各层节点数量 - **输入层**：和感知机一样，对于MNIST的784像素图像，每个输入变量对应一个输入节点，再加上偏置节点，所以输入层有785个节点，输入矩阵每行代表一个图像，有785列。 - **输出层**：MNIST有10个类别，所以输出层有10个节点，输出矩阵每行代表一个图像，有10列。 - **隐藏层**：隐藏层节点数量由我们决定，一般在输入层和输出层节点数量之间。我们暂时设置为200个节点，加上偏置节点后为201个。选择201是为了提醒我们其中一个隐藏节点是特殊的偏置节点，其值固定为1。 神经网络有两个权重矩阵：一个在输入层和隐藏层之间，另一个在隐藏层和输出层之间。每个权重矩阵的行数等于其输入元素的数量，列数等于其输出元素的数量，即$w_1$是$(n, d)$，$w_2$是$(d, k)$。网络中的操作如下： $H = sigmoid(X \cdot W_1)$ $\hat{Y} = sigmoid(H \cdot W_2)$ #### 5. 引入Softmax函数 大多数神经网络会将输出层前的最后一个Sigmoid函数替换为Softmax函数。Softmax函数接受一个数组（称为logits），返回一个相同大小的数组。其公式为：对每个logit取指数，然后除以所有logit指数的总和。 使用Softmax函数的好处是，它返回的数组中每个元素在0到1之间，且所有元素之和为1，这样我们可以将其输出解释为概率。例如，对于一个三分类器，经过隐藏层后的加权和得到的logits为$[0.5, 3.1, 1.6]$，经过Softmax函数处理后得到$[0.05724785, 0.77077009, 0.17198205]$，我们可以直观地看出该物品属于第二类的概率为77%。 最终设计的神经网络：输入层有785列（每个像素加偏置），激活函数为Sigmoid；隐藏层有201列（含偏置），激活函数为Softmax；输出层有10列，对应MNIST的10个类别。权重矩阵的维度确保矩阵乘法能够正确进行。 #### 6. 神经网络设计总结 通过连接两个感知机，我们设计了一个具有输入层、隐藏层和输出层的神经网络。每层由节点（神经元）组成，层与层之间有加权和与激活函数操作。我们使用Sigmoid作为输入层的激活函数，Softmax作为隐藏层的激活函数，输入层和隐藏层都有偏置节点，值固定为1。基于这些知识，我们设计了一个用于识别MNIST字符的网络，接下来将把这