正弦波采样、绘制与复指数信号解读

### 正弦波采样、绘制与复指数信号解读 #### 1. 正弦波相位计算与练习 正弦波的相位具有模糊性，因为给余弦函数的自变量加上 $2\pi$ 的整数倍，余弦函数的值不变，这是由于余弦函数的周期为 $2\pi$。计算相位的另一种方法是找到正弦波的任意正峰值，并测量其对应的时间位置。将时间位置通过公式转换为相位后，可加上或减去 $2\pi$ 的整数倍，使最终结果落在 $-\pi$ 到 $+\pi$ 之间，这个值称为相位的主值。 以下是相关练习： - **练习 2.3**：在图中可测量 $t_1$ 的正负值并计算相应相位，需判断哪个相位在 $-\pi < \phi \leq \pi$ 范围内，并验证两个相位相差 $2\pi$。 - **练习 2.4**：从给定图出发，当 $t_1 = 0.0075$ 和 $t_1 = -0.01$ 时，分别绘制 $x(t - t_1)$ 的图形，确保正确移动方向，并计算每种情况下时移正弦波的相位。 - **练习 2.5**：对于信号 $x(t) = 20 \cos(2\pi(40)t - 0.4\pi)$，找到 $G$ 和 $t_1$，使 $y(t) = Gx(t - t_1)$ 等于 $5 \cos(2\pi(40)t)$。 #### 2. 正弦波的采样与绘制 在绘制正弦波时，由于 MATLAB 处理的是离散信号，而我们要绘制连续函数 $x(t)$，所以需在离散时间点上计算 $x(t)$ 的值。通常选择均匀时间点 $t_n = nT_s$（$n$ 为整数），得到样本序列 $x(nT_s)$，其中 $T_s$ 为采样间隔或采样周期。 以下是使用 MATLAB 绘制正弦波的示例代码： ```matlab n = -6:9; Ts = 0.005; tn = n*Ts; xn = 20*cos(80*pi*tn - 0.4*pi); plot(tn,xn) ``` 上述代码创建了一个包含 16 个时间值的行向量 $t_n$ 和一个 $x(t)$ 的样本行向量 $x_n$，然后使用 `plot` 函数绘制这些点，并通过直线段连接，这种方法称为线性插值。 不同采样周期对绘制结果有影响，采样周期越小，一个周期内的采样点数越多，线性插值得到的曲线越平滑准确。例如，当 $T_s = 0.005$ 时，每个周期有 5 个样本；当 $T_s = 0.0025$ 时，每个周期有 10 个样本；当 $T_s = 0.0005$ 时，每个周期有 50 个样本。一般来说，每个周期的样本数越多，曲线越平滑准确。 绘制余弦信号还与插值方法有关，MATLAB 的内置绘图函数使用线性插值。理论上，若采样间隔小于周期的一半，余弦信号可从样本中精确重建，但线性插值无法达到此效果。 #### 3. 复数复习 复数 $z$ 是一对有序实数，可表示为 $z = (x, y)$ 或 $z = x + jy$（电气工程师用 $j$ 表示 $\sqrt{-1}$），这两种表示称为复数的笛卡尔形式。复数也可看作复平面上的点，其实部和虚部分别为水平和垂直坐标。 复数的运算可基于实部和虚部的实数运算定义，例如两个复数相加，其实部为实部之和，虚部为虚部之和。 复数还可表示为极坐标形式 $z = r\angle\theta$，其中 $r$ 为向量长度（即复数的模 $|z|$），$\theta$ 为向量与正实轴的夹角（即复数的辐角 $\arg z$）。笛卡尔形式和极坐标形式可相互转换： - 从极坐标到笛卡尔形式：$x = r \cos \theta$，$y = r \sin \theta$ - 从笛卡尔到极坐标形式：$r = \sqrt{x^2 + y^2}$，$\theta = \arctan(\frac{y}{x})$（需返回四个象限的角度） 使用欧拉公式 $e^{j\theta} = \cos \theta + j \sin \theta$，复数的极坐标形式可表示为 $z = re^{j\theta} = r \cos \theta + jr \sin \theta$，这种形式在复数乘法和除法计算中更方便。 以下是复数表示形式的总结表格： | 表示形式 | 表达式 | | ---- | ---- | | 笛卡尔形式 | $z = (x, y)$ 或 $z = x + jy$ | | 极坐标形式 | $z = r\angle\theta$ 或 $z = re^{j\theta}$ | #### 4. 复指数信号 复指数信号定义为 $z(t) = A e^{