随机微分方程及其模拟与伦理考量

# 随机微分方程及其模拟与伦理考量 ## 1. 随机微分方程示例 ### 1.1 一般情况推导 在某些情况下，已知 \(P(t) = rkm\)，则\(\mu(t) = \exp(rkmt)\)，并且： \[z(t) = \exp(-rkmt)\left[\int_{0}^{t}\exp(rkms)\frac{r}{F_{m}^{s}}ds + C\right]\] 由于 \(Z = \frac{Y - m}{m}\)，其中 \(Y = Y_{t}\) 且 \(Y_{t} = X_{t}F_{t}\)，我们可以得到 \(Y = (mz)^{-\frac{1}{m}}\)，最终： \[X_{t}=\frac{Y_{t}}{F_{t}}=\frac{(mz)^{-\frac{1}{m}}}{F_{t}}\] 又因为 \(F_{t}=\exp\left(-\beta B_{t}+\frac{1}{2}\beta^{2}t\right)\)。 - 当 \(m = 1\) 时： \[X_{t}=\frac{z^{-1}}{F_{t}}=\frac{1}{\exp(-\beta B_{t}+\frac{1}{2}\beta^{2}t)}\frac{1}{\exp(-rkt)}\frac{1}{\int_{0}^{t}\exp(rks)\frac{r}{\exp(-\beta B_{s}+\frac{1}{2}\beta^{2}s)}ds + C}\] 也可等价表示为： \[X_{t}=\frac{\exp(\beta B_{t}-(\frac{1}{2}\beta^{2}-rk)t)}{r\int_{0}^{t}\exp((-\frac{1}{2}\beta^{2}+rk)s+\beta B_{s})ds + C}\] - 当 \(m = 2\) 时： \[X_{t}=\frac{(2z)^{-\frac{1}{2}}}{F_{t}}=\frac{2^{-\frac{1}{2}}\exp(\beta B_{t}-(\frac{1}{2}\beta^{2}-rk)t)}{[r\int_{0}^{t}\exp((-\beta^{2}+2rk)s + 2\beta B_{s})ds + C]^{\frac{1}{2}}}\] ### 1.2 资产价格建模 资产价格演变的随机微分方程（SDE）为： \[dX_{t}=\mu X_{t}dt+\sigma X_{t}dB_{t}\] 其中 \(X_{t}\) 是时间 \(t\) 时的资产价格，\(B_{t}\) 是标准维纳过程，\(\mu\) 是漂移项，\(\sigma\) 是扩散系数。第一项模拟确定性趋势，第二项模拟随机、不可预测的事件。 该方程属于之前研究过的 SDE 类别 \(dX_{t}=f(t,X_{t})dt + c(t)X_{t}dB_{t}\)，其中 \(f(t,X_{t})=\mu X_{t}\)，\(c(t)=\sigma\)。 积分因子 \(F_{t}=\exp\left(-\int_{0}^{t}\sigma dB_{s}+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\sigma^{2}ds\right)=\exp\left(-\sigma B_{t}+\frac{1}{2}\sigma^{2}t\right)\)，它将 SDE 转化为确定性微分方程。 令 \(Y_{t}=F_{t}X_{t}\)，则 \(dY_{t}=d(F_{t}X_{t})=F_{t}f(t,X_{t})dt=\mu F_{t}X_{t}dt=\mu Y_{t}dt\)。 两边积分可得： \(\log Y_{t}=\mu t + C\)，即 \(Y_{t}=e^{\mu t + C}=Ae^{\mu t}\) 从而 \(X_{t}=\frac{Ae^{\mu t}}{F_{t}}=Ae^{\mu t}e^{\sigma B_{t}-\frac{1}{2}\sigma^{2}t}\) ### 1.3 地震序列震级建模 地震震级演变的 SDE 为： \[dX(t)=-\lambda X(t)dt + dZ(t),X_{0}>0,\lambda\in\mathbb{R}^{+}\] 其中 \(Z = \{Z_{t},t\geq0\}\) 是 Lévy 过程，\(\lambda\) 是正的速率参数。 定义 \(g(t,X_{t}) = e^{\lambda t}X_{t}\)，应用伊藤引理可得： \[d(e^{\lambda t}X_{t})=[\lambda X_{t}e^{\lambda t}-\lambda X_{t}e^{\lambda t}]dt+e^{\lambda t}dZ_{t}=e^{\lambda t}dZ_{t}\] 两边积分并除以 \(e^{\lambda t}\) 得到 SDE 的解： \[X_{t}=e^{-\lambda t}X_{0}+\int_{0}^{t}e^{-\lambda(t - s)}dZ_{s}\] ## 2. 多维随机微分方程 ### 2.1 多维 SDE 概述 当模型中存在有限个 SDE 时，需要考虑多维情况，例如多只股票价格演变、利率、波动率等现象的建模。 对于 \(m\geq2\) 的随机波动情况，\(B_{t}=(B_{1}^{t},B_{2}^{t},\cdots,B_{m}^{t})^{T}\) 表示 \(m\) 维布朗运动。确定性（漂移）部分 \(b:\mathbb{R}^{d}\times\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}^{d}\) 是可测向量过程，扩散部分 \(\sigma:\mathbb{R}^{d}\times\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}^{d\times m}\) 是可测矩阵值过程。 一个 \(d\) 维随机过程 \(X=(X_{t}:t\in[0,\infty))\) 由 \(d\) 个微分方程、\(d\) 维初始向量和合适的条件表示，其耦合系统的 SDE 为： \[dX_{t}=b(X_{t},t)dt+\sigma(X_{t},t)dB_{t}\] 其中： \[X_{t}=\begin{bmatrix}X_{1}(t)\\X_{2}(t)\\\vdots\\X_{d}(t)\end{bmatrix},b(X_{t},t)=\begin{bmatrix}b_{1}(X_{t},t)\\b_{2}(X_{t},t)\\\vdots\\b_{d}(X_{t},t)\end{bmatrix},dB_{t}=\begin{bmatrix}dB_{1}(t)\\dB_{2}(t)\\\vdots\\dB_{m}(t)\end{bmatrix},\sigma(X_{t},t)=\begin{bmatrix}\sigma_{11}(X_{t},t)&\sigma_{12}(X_{t},t)&\cdots&\sigma_{1m}(X_{t},t)\\\sigma_{21}(X_{t},t)&\sigma_{22}(X_{t},t)&\cdots&\sigma_{2m}(X_{t},t)\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\sigma_{d1}(X_{t},t)&\sigma_{d2}(X_{t},t)&\cdots&\sigma_{dm}(X_{t},t)\end{bmatrix}\] ### 2.2 多维奥恩斯坦 - 乌伦贝克过程 考虑一个由两个微分方程驱动的随机过程 \(X(t)\)，第一个 SDE \(\{X_{1}(t)\}\) 描述受事件位置影响的物理过程，第二个 SDE \(\{X_{2}(t)\}\) 描述受物理过程影响的事件位置。 该耦合系统满足的 SDE 为： \(\begin{cases}dX_{1}(t)=-\lambda_{1}X_{1}(t)dt+\sigma_{11}dZ_{1}(t)+\sigma_{12}dZ_{2}(t),\lambda_{1}\in\mathbb{R}^{+}\\dX_{2}(t)=-\lambda_{2}X_{2}(t)dt+\sigma_{21}dZ_{1}(t)+\sigma_{22}dZ_{2}(t),\lambda_{2}\in\mathbb{R}^{+}\end{cases}\) 初始条件 \(X(0)=(X_{1}^{0},X_{2}^{0})^{T}\)，其中 \(X_{1}^{0}>0\)，\(X_{2}^{0}>0\)，\(Z_{1}(t)=Z(\lambda_{1}t),t\geq0\)，\(Z_{2}(t)=Z_{1}(\lambda_{2}t),t\geq0\) 是 Lévy 过程，\(\lambda_{1},\lambda_{2}\) 是强度参数。 \(\sigma_{11}\) 和 \(\sigma_{22}\) 决定系统的波动率，\(\sigma_{12}\) 和 \(\sigma_{21}\) 描述系统的相关性。当 \(\sigma_{11}=\sigma_{22}=\sigma_{12}=\sigma_{21}=0\) 时，系统退化为确定性微分方程；当 \(\sigma_{12}=\sigma_{21}\neq0\) 时，\(X_{1}(t)\) 和 \(X_{2}(t)\) 相关。 用矩阵表示为： \[dX(t)=AX(t)dt+\sum_{i = 1}^{2}B_{i}(t)dZ(\lambda t)\] 其中： \[X=\begin{pmatrix}X_{1}\\X_{2}\end{pmatrix},A=\begin{pmatrix}-\lambda_{1}&0\\0&-\lambda_{2}\end{pmatrix},B_{1}(t)=\begin{pmatrix}\sigma_{11}&0\\0&\sigma_{21}\end{pmatrix},B_{2}(t)=\begin{pmatrix}\sigma_{12}&0\\0&\sigma_{22}\end{pmatrix},Z(\lambda t)=\begin{pmatrix}Z_{1}(\lambda t)\\Z_{2}(\lambda t)\end{pmatrix}\] ### 2.3 奥恩斯坦 - 乌伦贝克过程的解 对于 \(n\) 维过程 \(X(t)\) 的 SDE 系统 \(dX(t)=AX(t)dt + B_{1}dZ(\lambda t)+B_{2}dZ(\lambda t)\)，将其改写为： \[e^{-At}dX(t)-e^{-At}AX(t)dt=e^{-At}B_{1}dZ(\lambda t)+e^{-At}B_{2}dZ(\lambda t)\] 其中 \(e^{A}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{n!}A^{n}\)，\(A^{0}=I\) 是单位矩阵。 通过应用二维伊藤公式可得 \(d(e^{-At}dX(t))=e^{-At}dX(t)-e^{-At}AX(t)dt\)，代入并积分得到解： \[X(t)=e^{At}X(0)+\int_{0}^{t}e^{A(t - s)}B_{1}dZ(\lambda s)+\int_{0}^{t}e^{A(t - s)}B_{2}dZ(\lambda s)\] 计算解的关键在于计算指数矩阵 \(e^{At}\)，可将矩阵 \(A\) 对角化为 \(A = PDP^{-1}\)，其中 \(P\) 是可逆矩阵，\(D\) 是对角矩阵。一个 \(n\times n