变分推断与分布式训练在LDA中的应用

### 主题模型中的变分推断与分布式训练 在主题模型的研究中，变分推断和分布式训练是两个重要的技术方向。变分推断为处理复杂的贝叶斯模型提供了有效的近似方法，而分布式训练则解决了大规模数据训练时的计算效率和存储瓶颈问题。 #### 1. 平均场变分推断在LDA中的应用 在将平均场变分推断应用于潜在狄利克雷分配（LDA）模型时，我们需要计算一些期望。 首先是 $E_q[\log q(\mathbf{z}|\pi)]$ 的计算： \[ \begin{align*} E_q[\log q(\mathbf{z}|\pi)] &= E_q[\log q(z_1|\pi)q(z_2|\pi)\cdots q(z_n|\pi)]\\ &= \sum_{n=1}^{N} E_q[\log q(z_n|\pi_n)]\\ &= \sum_{n=1}^{N} E_q\left[\sum_{k=1}^{K} z_n^k \log \pi_{nk}\right]\\ &= \sum_{n=1}^{N} \sum_{k=1}^{K} E_q[z_n^k] \log \pi_{nk}\\ &= \sum_{n=1}^{N} \sum_{k=1}^{K} \pi_{nk} \log \pi_{nk} \end{align*} \] 然后是 $E_q[\log q(\boldsymbol{\theta}|\boldsymbol{\gamma})]$ 的计算： \[ E_q[\log q(\boldsymbol{\theta}|\boldsymbol{\gamma})] = \log \Gamma\left(\sum_{k=1}^{K} \gamma_k\right) - \sum_{k=1}^{K} \log \Gamma(\gamma_k) + \sum_{k=1}^{K} (\gamma_k - 1)\left(\Psi(\gamma_k) - \Psi\left(\sum_{k'=1}^{K} \gamma_{k'}\right)\right) \] #### 2. 基于偏导数的变分优化 为了最大化 $L(\gamma, \pi, \lambda)$，引入约束 $\sum_{k=1}^{K} \pi_{n,k} = 1$ 来构建拉格朗日函数。 ##### 2.1 关于 $\pi$ 的优化 构建与 $\pi$ 相关的拉格朗日函数 $L[\pi]$： \[ \begin{align*} L[\pi] &= \sum_{n=1}^{N} \sum_{k=1}^{K} \pi_{nk}\left(\Psi(\gamma_k) - \Psi\left(\sum_{k'=1}^{K} \gamma_{k'}\right)\right)\\ &+ \sum_{n=1}^{N} \sum_{k=1}^{K} \sum_{i=1}^{V} \pi_{nk} w_n^i\left(\Psi(\lambda_{ki}) - \Psi\left(\sum_{i'=1}^{V} \lambda_{ki'}\right)\right)\\ &- \sum_{n=1}^{N} \sum_{k=1}^{K} \pi_{nk} \log \pi_{nk} + \sum_{n=1}^{N} \nu_n\left(\sum_{k=1}^{K} \pi_{nk} - 1\right) \end{align*} \] 对 $L[\pi]$ 关于 $\pi_{nk}$ 求偏导数： \[ \frac{\partial L}{\partial \pi_{nk}} = \sum_{i=1}^{V} w_n^i\left(\Psi(\lambda_{ki}) - \Psi\left(\sum_{i'=1}^{V} \lambda_{ki'}\right)\right) - \log \phi_{nk} - 1 + \nu_n + \Psi(\gamma_k) - \Psi\left(\sum_{k'=1}^{K} \gamma_{k'}\right) \] 令偏导数为 0，得到： \[ \pi_{nk} \propto \exp\left(\sum_{i=1}^{V} w_n^i\left(\Psi(\lambda_{ki}) - \Psi\left(\sum_{i'=1}^{V} \lambda_{ki'}\right)\right) + \Psi(\gamma_k) - \Psi\left(\sum_{k'=1}^{K} \gamma_{k'}\right)\right) \] ##### 2.2 关于 $\gamma$ 的优化 构建与 $\gamma$ 相关的拉格朗日函数 $L[\gamma]$： \[ \begin{align*} L[\gamma] &= \sum_{n=1}^{N} \sum_{k=1}^{K} \pi_{nk}\left(\Psi(\gamma_k) - \Psi\left(\sum_{j=1}^{K} \gamma_j\right)\right)\\ &+ \sum_{k=1}^{K} (\alpha_k - 1)\left(\Psi(\gamma_k) - \Psi\left(\sum_{j=1}^{K} \gamma_j\right)\right)\\ &- \log \Gamma\left(\sum_{k=1}^{K} \gamma_k\right) + \sum_{k=1}^{K} \log \Gamma(\gamma_k) - \sum_{k=1}^{K} (\gamma_k - 1)\left(\Psi(\gamma_k) - \Ps