岩土结构中的土压力理论解析

### 岩土结构中的土压力理论解析 在岩土工程领域，土压力的计算和分析对于结构设计至关重要。本文将深入探讨土压力相关的理论，包括主动和被动土压力系数、Rankine 方法及其在不同情况下的应用，以及土压力与墙体位移的关系等内容。 #### 1. 主动和被动土压力系数 土压力系数是计算土压力的关键参数。被动土压力系数 \(K_p\) 是被动状态下水平有效应力与相应垂直有效应力之比，即： \[K_p = \frac{\sigma_{hp}'}{\sigma_{v}'}\] 这里的垂直有效应力不一定是静止状态下的垂直有效应力，在土 - 结构相互作用问题中，由于地表荷载的作用，静止垂直应力状态可能会发生改变。同时，由于墙面通常粗糙或倾斜，\(K_a\) 和 \(K_p\) 分子中的应力一般并非水平方向。 主动土压力系数 \(K_a\) 和被动土压力系数 \(K_p\) 的表达式如下： \[K_a = \frac{1 - \sin\varphi'}{1 + \sin\varphi'} = \tan^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\varphi'}{2})\] \[K_p = \frac{1 + \sin\varphi'}{1 - \sin\varphi'} = \tan^2(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi'}{2})\] 从这些表达式可以看出，随着内摩擦角 \(\varphi'\) 的增大，\(K_a\) 的值减小，而 \(K_p\) 的值增大。 #### 2. Rankine 方法计算主动和被动推力 Rankine 方法在特定假设条件下，可以计算与土体在极限平衡状态下相互作用的墙体在特定深度处的压力（水平应力）。该方法基于以下假设： 1. 土体为无粘性土（有效应力为零时抗剪强度为零），且地下水位不产生影响。 2. 地面为水平。 3. 墙体为垂直且刚性。 4. 土体与墙体之间的摩擦力为零。 在给定深度 \(z\) 处，墙体上的压力分别为： 主动压力：\(\sigma_{ha}' = K_a\sigma_{v}' = K_a\gamma z\) 被动压力：\(\sigma_{hp}' = K_p\sigma_{v}' = K_p\gamma z\) 如果土体是均质的，土压力分布图呈三角形。在给定深度 \(h\) 处，主动和被动土压力的合力分别为主动推力 \(P_a\) 和被动推力 \(P_p\)，可通过对地表到给定深度之间的土压力进行积分计算： \[P_a = \int_{0}^{h} \sigma_{ha}' dz = \int_{0}^{h} K_a\gamma z dz = \frac{1}{2}K_a\gamma h^2\] \[P_p = \int_{0}^{h} \sigma_{hp}' dz = \int_{0}^{h} K_p\gamma z dz = \frac{1}{2}K_p\gamma h^2\] 若土体均质，推力作用点位于深度 \(\frac{2}{3}h\) 处。主动和被动推力分别代表了土体与墙体之间相互作用力的下限和上限。 #### 3. 主动和被动状态相关的位移 ##### 3.1 Terzaghi 实验 Terzaghi 通过实验室模型试验，旨在量化使相邻土体达到主动和被动极限平衡状态时，结构墙体所需的位移大小。实验使用装满分层砂的水箱，其中一侧墙底部铰接，并在不同高度设置传感器测量土压力和推力。 在填砂过程中，墙体保持垂直，填砂结束后记录的推力视为静止推力 \(P_0\)。之后，在一些试验中，将底部铰接的墙体向土体方向移动，记录的推力逐渐增大，直至达到最大值，即被动推力 \(P_p\)；在另一些试验中，墙体向相反方向移动，推力减小至最小值，即主动推力 \(P_a\)。 试验结果表明，达到被动状态需要较大的位移，而达到主动状态只需很小的位移。从试验及其他类似测试得到的数量级来看，被动状态所需的位移可能超过墙体高度的 5% 甚至 10%，而主动状态通常墙体高度的 0.1% - 0.5% 位移就足够了。 ##### 3.2 应力路径：三轴试验的典型结果 通过对砂土进行三轴试验，可以解释上述位移差异的原因。图 5.8a 展示了对应主动和被动极限状态的有效应力路径。主动和被动状态可分别通过对固结到静止有效应力状态的试样进行三轴压缩试验（水平应力减小，垂直应力不变）和三轴拉伸试验（水平应力增大，垂直应力不变）获得。 图 5.8b 显示了在松散或密实砂样上沿这些应力路径进行试验得到的典型曲线，结果表明： 1. 对于相同类型的试验，密实砂的强度更大，破坏时的应变更小。 2. 对于两种砂，压缩试验破坏时的应变远小于拉伸试验。 3. 松散砂中这种变形差异更为明显。 这种变形差异主要源于两个方面：一是从静止应力状态转变到主动状态所需的增量应力远小于转变到被动状态所需的增量应力；二是土体刚度与应力路径有关，通常在平均有效应力减小的应力路径（如主动状态）中，土体表现出更大的刚度。 综上所述，主动状态的调动需要更小的位移，因为它涉及的增量应力更小，且在这种加载类型下土体具有更大的刚度。 以下是 Terzaghi 实验流程的 mermaid 流程图： ```mermaid graph LR A[准备装满分层砂的水箱] --> B[填砂，墙体保持垂直] B --> C[记录静止推力 P0] C --> D{试验类型} D -->|向土体移动墙体| E[推力增大至被动推力 Pp] D -->|背向土体移动墙体| F[推力减小至主动推力 Pa] ``` ##### 3.3 对土木工程结构设计的影响 从前面的分析可知，土压力的大小取决于墙体的位移，这在通过垂直（或接近垂直）墙体与土体相互作用的结构设计中是一个关键问题。 当结构由土体支撑时，墙体向土体方向移动，相互作用产生的平衡压力通常大于静止应力，