z变换：信号与系统分析的强大工具

### z变换：信号与系统分析的强大工具 在信号与系统的分析领域，z变换是一种极其重要的数学工具，它为我们处理离散时间信号和线性时不变（LTI）系统提供了有效的方法。本文将深入探讨z变换的多个关键方面，包括FIR滤波器的脉冲响应、卷积与z变换的关系、系统级联、z多项式的因式分解、反卷积以及z域与其他域的关系等。 #### 1. FIR滤波器的脉冲响应求解 在确定FIR滤波器的脉冲响应时，我们可以通过z变换来实现。例如，对于系统函数为\(H(z) = 4(1 - e^{j\pi/2}z^{-1})(1 - e^{-j\pi/2}z^{-1})(1 + 0.8z^{-1})\)的FIR滤波器，我们可以先利用公式\((1 - re^{j\theta}z^{-1})(1 - re^{-j\theta}z^{-1}) = 1 - 2r\cos(\theta)z^{-1} + r^2z^{-2}\)对含有复共轭根的项进行简化，然后将各因子相乘得到多项式，最后通过“逆z变换”来确定脉冲响应\(h[n]\)。 #### 2. 卷积与z变换 z变换的强大之处在于其卷积特性，即z变换的多项式乘法等价于时域卷积。下面我们详细推导这一重要性质。 设两个离散序列\(x[n]\)和\(h[n]\)的离散卷积为\(y[n] = x[n] * h[n] = \sum_{k = 0}^{M} h[k]x[n - k]\)，其中\(M + 1\)是序列\(h[n]\)的长度。假设\(x[n]\)也为有限长度序列，这意味着结果\(y[n]\)的长度也是有限的。 为了证明这一普遍结果，我们对等式两边进行z变换。在等式右边，只有\(x[n - k]\)项依赖于\(n\)，根据一般延迟性质（9.7），其z变换为\(z^{-k}X(z)\)。卷积和是这些延迟信号（由\(h[k]\)缩放）的叠加，根据线性性质（9.5）可得： \(Y(z) = \sum_{k = 0}^{M} \left( h[k] z^{-k}X(z) \right) = \left( \sum_{k = 0}^{M} h[k]z^{-k} \right)X(z) = H(z)X(z)\) 这表明，如果\(x[n]\)是有限长度序列，其z变换\(X(z)\)是多项式，那么z变换算子将卷积转换为多项式乘法。 下面通过一个具体例子来说明： 已知\(x[n] = \delta[n - 1] - \delta[n - 2] + \delta[n - 3] - \delta[n - 4]\)，\(h[n] = \delta[n] + 2\delta[n - 1] + 3\delta[n - 2] + 4\delta[n - 3]\)，它们的z变换分别为\(X(z) = 0 + 1z^{-1} - 1z^{-2} + 1z^{-3} - 1z^{-4}\)和\(H(z) = 1 + 2z^{-1} + 3z^{-2} + 4z^{-3}\)。 计算卷积的z变换\(Y(z) = H(z)X(z)\)： \[ \begin{align*} Y(z) &= (1 + 2z^{-1} + 3z^{-2} + 4z^{-3})(z^{-1} - z^{-2} + z^{-3} - z^{-4})\\ &= z^{-1} + (-1 + 2)z^{-2} + (1 - 2 + 3)z^{-3} + (-1 + 2 - 3 + 4)z^{-4} + (-2 + 3 - 4)z^{-5} + (-3 + 4)z^{-6} + (-4)z^{-7}\\ &= z^{-1} + z^{-2} + 2z^{-3} + 2z^{-4} - 3z^{-5} + z^{-6} - 4z^{-7} \end{align*} \] 通过“逆变换”\(Y(z)\)，我们可以得到\(y[n] = \delta[n - 1] + \delta[n - 2] + 2\delta[n - 3] + 2\delta[n - 4] - 3\delta[n - 5] + \delta[n - 6] - 4\delta[n - 7]\)。 为了验证结果的正确性，我们可以直接使用卷积和公式计算输出： - \(y[0] = h[0]x[0] = 1(0) = 0\) - \(y[1] = h[0]x[1] + h[1]x[0] = 1(1) + 2(0) = 1\) - \(y[2] = h[0]x[2] + h[1]x[1] + h[2]x[0] = 1(-1) + 2(1) + 3(0) = 1\) - \(y[3] = h[0]x[3] + h[1]x[2] + h[2]x[1] + h[3]x[0] = 1(1) + 2(-1) + 3(1) + 4(0) = 2\) - \(y[4] = h[0]x[4] + h[1]x[3] + h[2]x[2] + h[3]x[1] = 1(-1) + 2(1) + 3(-1) + 4(1) = 2\) 我们还可以使用合成乘法表来评估\(x[n]\)与\(h[n]\)的卷积，这实际上就是对多项式\(X(z)\)和\(H(z)\)进行乘法运算。以下是具体的表格： | \(z\) | \(z^0\) | \(z^{-1}\) | \(z^{-2}\) | \(z^{-3}\) | \(z^{-4}\) | \(z^{-5}\) | \(z^{-6}\) | \(z^{-7}\) | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | \(x[n], X(z)\) | 0 | +1 | -1 | +1 | -1 | 0 | 0 | 0 | | \(h[n], H(z)\) | 1 | 2 | 3 | 4 | | | | | | \(X(z)\) | 0 | +1 | -1 | +1 | -1 | 0 | 0 | 0 | | \(2z^{-1}X(z)\) | 0 | +2 | -2 | +2 | -2 | 0 | 0 | | | \(3z^{-2}X(z)\) | 0 | +3 | -3 | +3 | -3 | 0 | | | | \(4z^{-3}X(z)\) | 0 | +4 | -4 | +4 | -4 | | | | | \(y[n], Y(z)\) | 0 | +1 | +1 | +2 | +2 | -3 | +1 | -4 | 在这个表格中，\(z^{-1}\)的幂次由系数在表格中的水平位置暗示。每一行是通过将\(x[n]\)行乘以\(h[n]\)中的一个值，并将结果向右移动相应的\(z^{-1}\)幂次得到的。最终答案通过对各列求和得到，底部一行即为\(y[n] = x[n] * h[n]\)的值，也就是多项式\(Y(z)\)的系数。 综上所述，我们得出结论：卷积和多项式乘法本质上是相同的，即\(y[n] = h[n] * x[n] \stackrel{z}{\longleftrightarrow} Y(z) = H(z)X(z)\)。 #### 3. 系统级联 z变换在系统设计中的一个主要应用是创建具有相同输入 - 输出行为的替代滤波器结构，其中一个重要的例子是两个或多个LTI系统的级联。 在级联连接中，第一个系统的输出连接到第二个系统的输入。设\(h_1[n]\)和\(h_2[n]\)分别是第一个和第二个系统的脉冲响应，那么从输入\(x[n]\)到输出\(y[n]\)的总体脉冲响应为\(h[n] = h_1[n] * h_2[n]\)（即卷积）。因此，总体脉冲响应\(h[n]\)的z变换是两个脉冲响应的z变换的乘积，即： \(h[n] = h_1[n] * h_2[n] \stackrel{z}{\longleftrightarrow} H(z) = H_1(z)H_2(z)\) 由于乘法具有交换律，即\(H(z) = H_1(z)H_2(z) = H_2(z)H_1(z)\)，这意味着卷积也是一个交换运算，两个系统可以以任意顺序级联，并且我们仍然可以得到相同的总体系统响应。 下面通过一个简单的例子来说明： 假设一个系统由以下差分方程描述： \(w[n] = 3x[n] - x[n - 1]\) \(y[n] = 2w[n] - w[n - 1]\) 这定义了两个一阶系统的级联。我们可以将这两个滤波器组合成一个单一的差分方程。将第一个系统的\(w[n]\)代入第二个系统可得： \(y[n] = 2w[n] - w[n - 1] = 2(3x[n] - x[n - 1]) - (3x[n - 1] - x[n - 2]) = 6x[n] - 5x[n - 1] + x[n - 2]\) 这表明