数学基础：多项式、行列式、图与多项式表示

### 数学基础：多项式、行列式、图与多项式表示 在数学的许多领域中，多项式、行列式、图等概念是基础且重要的。同时，如何有效地表示多项式也是一个关键问题。本文将介绍这些基础概念以及多项式的不同表示方法。 #### 1. 多项式、行列式和图 ##### 1.1 多项式 - **一元多项式**：设 \(f\) 是环 \(A\) 上的一元多项式，其形式为 \(f(X) = c_0 + c_1X + \cdots + c_dX^d = \sum_{i=0}^{d} c_iX^i\)，其中 \(c_i \in A\) 且 \(c_d \neq 0\)。整数 \(d\) 称为多项式的次数，记为 \(\deg(f)\)。多项式是形如 \(c_iX^i\) 的项的和，项是系数 \(c_i\) 与单项式 \(X^i\) 的乘积。环 \(A\) 上的一元多项式集合记为 \(A[X]\)。 - **多元多项式**：设 \(f\) 是环 \(A\) 上的 \(n\) 元多项式，\(f(X_1, \cdots, X_n) = \sum_{\alpha \in \{0, \cdots, d\}^n} c_{\alpha}X_1^{\alpha_1} \cdots X_n^{\alpha_n}\)，其中 \(\alpha = (\alpha_1, \cdots, \alpha_n)\) 且 \(c_{\alpha} \in A\)。多项式的总次数为 \(\deg(f) = \max\{\alpha_1 + \cdots + \alpha_n : c_{\alpha} \neq 0\}\)，\(f\) 关于 \(X_j\) 的次数为 \(\deg_{X_j}(f) = \max\{\alpha_j : \exists(\alpha_1, \cdots, \alpha_{j - 1}, \alpha_{j + 1}, \cdots, \alpha_n), c_{\alpha} \neq 0\}\)。当多项式关于每个变量的次数至多为 1 时，称为多重线性多项式。环 \(A\) 上的 \(n\) 元多项式集合记为 \(A[X_1, \cdots, X_n]\)，且对于任意 \(n\)，\(A[X_1, \cdots, X_n]\) 是一个环，并且同构于 \(A[X_1, \cdots, X_{n - 1}][X_n]\)。 - **有理分数**：如果 \(A\) 是唯一分解整环，\(A\) 上的有理分数是形如 \(\varphi = f / g\) 的表达式，其中 \(f\) 和 \(g\) 是 \(A\) 上的两个多项式。\(\varphi\) 的次数为 \(\deg(\varphi) = \deg(f) - \deg(g)\)，通常可以假设 \(\varphi\) 是既约形式，即 \(f\) 和 \(g\) 互质。 - **多项式的根**：多项式 \(f\) 的根是 \(A^n\) 中的元素 \(a\)（\(n\) 是 \(f\) 的变量个数），使得 \(f(a) = 0\)。如果 \(a \neq \overline{0}\)，则根是非平凡的。对于一元多项式 \(f\)，根 \(a\) 的重数 \(\mu\) 是使得 \((X - a)^{\mu}\) 整除 \(f\) 的最大指数。有理分数 \(\varphi = f / g\)（\(f\) 和 \(g\) 互质）的根是 \(f\) 的根，极点是 \(g\) 的根。 ##### 1.2 行列式 - **矩阵**：环 \(A\) 上的 \((m, n)\) 维矩阵 \(M\) 是 \(A^{m\times n}\) 中的元素，其坐标称为系数，由 \(\{1, \cdots, m\} \times \{1, \cdots, n\}\) 索引，通常记为 \(M = (m_{ij})_{1\leq i\leq m, 1\leq j\leq n}\)。对于固定的 \(i\)，\(m_{ij}\) 的集合是 \(M\) 的第 \(i\) 行；对于固定的 \(j\)，\(m_{ij}\) 的集合是 \(M\) 的第 \(j\) 列。当 \(m = n\) 时，称 \(M\) 为 \(n\) 阶方阵。 - **排列**：排列是有限集到自身的双射，通常是 \(\{1, \cdots, n\}\) 到自身的双射。记 \(S_n\) 为 \(\{1, \cdots, n\}\) 的排列集合。排列 \(\sigma \in S_n\) 的逆序数是满足 \(i < j\) 且 \(\sigma(i) > \sigma(j)\) 的数对 \((i, j)\) 的个数。排列 \(\sigma\) 的符号为 \(\epsilon(\sigma) = (-1)^{\text{逆序数}}\)。 - **行列式**：\(n\) 阶方阵 \(M = (m_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\) 的行列式为 \(\det(M) = \sum_{\sigma \in S_n} \epsilon(\sigma) \prod_{i = 1}^{n} m_{i, \sigma(i)}\)，行列式是关于其 \(n^2\) 个系数的 \(n\) 次多重线性多项式。当对于任意 \((i, j)\) 有 \(m_{ij} = m_{ji}\) 时，方阵 \(M\) 称为对称矩阵。 ##### 1.3 图 - **有向图**：有向图 \(G = (S, A)\) 由有限顶点集 \(S\) 和弧集 \(A \subseteq S \times S\) 组成，弧 \((u, v)\) 通常记为 \(u \to v\)。可以考虑图的弧上的权重函数 \(w\)，它将每个弧 \((u, v)\) 映射到某个集合 \(E\) 中的权重 \(w(u, v)\)，如果 \((u, v) \notin A\)，则 \(w(u, v) = 0\)。图 \(G\) 的邻接矩阵 \(M(G)\) 定义为 \(m_{uv} = w(u, v)\)。如果 \(G\) 没有明确的权重函数，则对于 \((u, v) \in A\)，\(w(u, v) = 1\)；对于 \((u, v) \notin A\)，\(w(u, v) = 0\)。 - **排列与图的循环覆盖**：\(\{1, \cdots, n\}\) 的排列可以分解为不相交的循环，这些循环对应于图 \(G\) 中的可能循环。\(\{1, \cdots, n\}\) 的排列与图 \(G\) 的循环覆盖一一对应，循环覆盖是图 \(G\) 的弧的集合，形成不相交的循环，且每个顶点恰好属于一个循环。循环覆盖的权重是组成它的弧的权重的乘积，记为 \(w(C)\)。设 \(C\) 是图 \(G\) 的循环覆盖，\(\sigma\) 是对应的排列，循环覆盖 \(C\) 的符号定义为 \(\epsilon(C) = \epsilon(\sigma)\)。如果 \(C\) 有 \(k\) 个循环，则 \(\epsilon(C) = (-1)^{n + k}\)。一个循环如果有偶数个顶点，则称为偶循环，否则称为奇循环。循环覆盖 \(C\) 的符号也可以定义为 \(\epsilon(C) = (-1)^{\ell}\)，其中 \(\ell\) 是偶循环的个数。有 \(\det(M(G)) = \sum_{C} \epsilon(C)w(C)\)，其中求和是对图 \(G\) 的所有循环覆盖进行的。 - **无向图**：无向图 \(G = (S, A)\) 中，\(A\) 是形如 \(\{u, v\}\) 的边的集合，\(u, v \in S\)。无向图可以看作对称有向图，边 \(\{u, v\}\) 看作弧 \((u, v)\) 和 \((v, u)\) 的并。无向图的权重函数必须满足 \(w(u, v) = w(v, u)\) 对于所有 \(u, v \in S\)，其邻接矩阵是对称矩阵。当讨论无向图的循环覆盖时，总是指对应的对称有向图的有向循环覆盖。 #### 2. 多项式的表示 ##### 2.1 稠密、稀疏和缺项表示 - **一元多项式的表示** - **稠密表示**：一元多项式 \(f(X) = c_0 + c_1X + \cdots + c_dX^d\) 的稠密表示是列表 \([c_0, c_1, \cdots, c_d]\)，表示的大小为 \(\sum_{i = 0}^{d} \text{taille}(c_i)\)。这种表示适用于多项式实际上是稠密的情况，即很少有系数为零。例如，对于多项式 \((X^{500} - 1)\)，稠密表示需要存储 501 个系数，不太合适。 - **稀疏表示**：一元多项式 \(f(X) = c_0X^{\delta_0} + c_1X^{\delta_1} + \cdots + c_kX^{\delta_k}\) 的稀疏表示是列表 \([(c_0, \delta_0), (c_1, \delta_1), \cdots, (c_k, \delta_k)]\)，表示的大小为 \(\sum_{i = 0}^{k} (\text{taille}(c_i) + \log(1 + \delta_i))\)。对于多项式 \((X^{500} - 1)\)，稀疏表示只需要存储两个对 \((1, 500)\) 和 \((1, 0)\)，更有效。但在一般情况下，对于没有零系数的多项式，多项式的指数序列是多余的。 - **多元多项式的表示** - **稠密表示**：多元多项式 \(f(X_1, \cdots, X_n) = \sum_{e \in \{0, \cdots, d\}^n} c_eX_1^{e_1} \cdots X_n^{e_n}\) 的稠密表示是所有系数 \(c_e\) 的列表，其中 \(e\) 遍历 \(\{0, \cdots, d\}^n\)。表示的大小是所有系数大小的和。这种表示的大小在多项式的次数和变量个数上是指数级的。 - **稀疏表示**：多元多项式 \(f(X_1, \cdots, X_n) = \sum_{e \in E} c_eX_1^{e_1} \cdots X_n^{e_n}\)（\(E \subseteq \{0, \cdots, d\}^n\)）的稀疏表示是所有 \((n + 1)\) - 元组 \((c_e, 1^{e_1}, \cdots, 1^{e_n})\) 的列表，其中 \(e \in E\)。表示的大小为 \(\sum_{e \in E} (\text{taille}(c_e) + |e|)\)，其中 \(|e| = \sum_{i = 1}^{n} e_i\)。多元多项式的稀疏表示将指数用一元表示。 - **缺项表示**：多元多项式 \(f(X_1, \cdots, X_n) = \sum_{e \in E} c_eX_1^{e_1} \cdots X_n^{e_n}\)（\(E \subseteq \{0, \cdots, d\}^n\)）的缺项表示是所有 \((n + 1)\) - 元组 \((c_e, e_1, \cdots, e_n)\) 的列表，其中 \(e \in E\)。表示的大小为 \(\sum_{e \in E} (\text{taille}(c_e) + \log(1 + e_1) + \cdots + \log(1 + e_n))\)。一元多项式稀疏表示的等价形式在多元多项式中称为超稀疏或缺项表示。 为了更直观地理解，下面用表格总结多项式的不同表示： | 多项式类型 | 表示方法 | 表示形式 | 大小计算 | | ---- | ---- | ---- | ---- | | 一元多项式 | 稠密表示 | \([c_0, c_1, \cdots, c_d]\) | \(\sum_{i = 0}^{d} \text{taille}(c_i)\) | | 一元多项式 | 稀疏表示 | \([(c_0, \delta_0), (c_1, \delta_1), \cdots, (c_k, \delta_k)]\) | \(\sum_{i = 0}^{k} (\text{taille}(c_i) + \log(1 + \delta_i))\) | | 多元多项式 | 稠密表示 | 所有系数 \(c_e\) 的列表（\(e\) 遍历 \(\{0, \cdots, d\}^n\)） | 所有系数大小的和 | | 多元多项式 | 稀疏表示 | 所有 \((n + 1)\) - 元组 \((c_e, 1^{e_1}, \cdots, 1^{e_n})\) 的列表（\(e \in E\)） | \(\sum_{e \in E} (\text{taille}(c_e) + |e|)\) | | 多元多项式 | 缺项表示 | 所有 \((n + 1)\) - 元组 \((c_e, e_1, \cdots, e_n)\) 的列表（\(e \in E\)） | \(\sum_{e \in E} (\text{taille}(c_e) + \log(1 + e_1) + \cdots + \log(1 + e_n))\) | 下面是多项式表示选择的流程图： ```mermaid graph LR A[多项式类型] --> B{一元多项式} B -- 是 --> C{系数是否大多非零} C -- 是 --> D[稠密表示] C -- 否 --> E[稀疏表示] B -- 否 --> F{系数分布情况} F -- 系数多且分布均匀 --> G[稠密表示] F -- 系数少且分散 --> H[缺项表示] F -- 介于两者之间 --> I[稀疏表示] ``` ##### 2.2 算术电路 前面的表示都是多项式展开形式的表示。例如，多项式 \((X + 1)^{500}\) 的稠密和稀疏表示都是大小为 500 的列表。将多项式保持因式分解形式表示更有利，为此引入算术电路的概念。 - **算术电路的定义**：域 \(K\) 上的算术电路是一个无环有向多重图，其顶点称为门，被标记。入度为 0 的门是电路的输入，它们被标记为变量 \(X_i\) 或常数 \(c \in K\)。其他入度为 2 的门是计算门，有两种类型：标记为 \(+\) 的加法门和标记为 \(\times\) 的乘法门。有一个唯一的出度为 0 的门称为电路的输出。电路的弧称为箭头。 - **算术电路表示的多项式**：算术电路表示的多项式是递归定义的。标记为 \(c \in K\) 的输入表示常数多项式 \(c\)，标记为 \(X_i\) 的输入表示多项式 \(X_i\)。接收分别表示多项式 \(f\) 和 \(g\) 的两个门的箭头的加法门表示多项式 \(f + g\)，乘法门表示多项式 \(f \times g\)。电路表示的多项式是其输出门表示的多项式。在某些证明中，可以允许有多个输出门，此时电路表示的多项式的数量等于输出门的数量。 - **算术电路的大小和深度**：设 \(C\) 是一个算术电路，其大小 \(t(C)\) 是其计算门的数量，深度 \(p(C)\) 是从输入到输出的最长路径的长度，输入的数量记为 \(e(C)\)。例如，图 1.2 中的电路大小为 6，深度为 3，有 3 个输入。不同作者对电路大小的定义可能不同，有的作者将总门数（包括输入）作为大小的概念。通常将 \(t(C)\) 称为精细大小或复杂度，将 \(m(C) = t(C) + e(C)\) 称为粗略大小。有命题：若电路 \(C\) 的底层图是连通的，则 \(1 \leq e(C) \leq t(C) + 1\)。 - **算术电路的等价形式**：算术电路有时以无循环程序的等价形式呈现。给定一个由常数和变量组成的输入集合以及一个有序的指令序列。对于 \(i \geq 1\)，指令 \(i\) 的形式为 \(j \star k\)，其中 \(\star \in \{+, \times\}\)，\(j\) 和 \(k\) 要么是输入，要么是严格小于 \(i\) 的整数。程序计算的多项式是递归定义的，输入计算其自身，对于形式为 \(j \star k\) 的指令，若 \(j\) 计算的多项式为 \(f_j\)，\(k\) 计算的多项式为 \(f_k\)，则该指令计算的多项式为 \(f_j \star f_k\)。一个有 \(t\) 条指令和 \(e\) 个输入的无循环程序就是一个大小为 \(t\) 且有 \(e\) 个输入的算术电路，其中门的计算顺序已确定。 - **受限算术电路**：可以对电路施加限制以获得不太紧凑但更易于处理的表示。 - **乘法不相交电路**：如果每个乘法门接收来自门 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 的箭头，且子电路 \(C_{\alpha}\) 和 \(C_{\beta}\) 是不相交的，则电路称为乘法不相交电路。 - **弱不对称电路**：如果每个乘法门 \(\gamma\) 至少有一个参数 \(\beta\)，使得弧 \(\beta \to \gamma\) 是连接 \(C_{\beta}\) 到 \(C \setminus C_{\beta}\) 的唯一弧，则电路称为弱不对称电路。 - **不对称电路**：如果每个乘法门的至少一个参数是电路的输入，且该输入只发出一个箭头，则电路称为不对称电路。 - **公式**：每个门的出度至多为 1 的电路称为公式。公式是弱不对称电路的一种特殊情况，但不一定是不对称电路；弱不对称电路是乘法不相交电路的一种特殊情况；不对称电路是弱不对称电路的一种特殊情况。 不同类型电路的关系如下表所示： | 电路类型 | 包含关系 | | ---- | ---- | | 公式 | 是弱不对称电路的特殊情况 | | 弱不对称电路 | 是乘法不相交电路的特殊情况 | | 不对称电路 | 是弱不对称电路的特殊情况 | 下面是不同类型电路关系的流程图： ```mermaid graph LR A[算术电路] --> B[乘法不相交电路] B --> C[弱不对称电路] C --> D[不对称电路] C --> E[公式] ``` 通过对多项式、行列式、图等基础概念以及多项式不同表示方法的介绍，我们可以更好地理解和处理数学中的相关问题。在实际应用中，根据具体情况选择合适的多项式表示方法和算术电路类型可以提高计算效率和处理的便利性。 ### 数学基础：多项式、行列式、图与多项式表示 #### 3. 不同表示方法的应用场景分析 在实际应用中，选择合适的多项式表示方法和算术电路类型至关重要，它直接影响到计算效率和处理的便利性。下面我们详细分析不同表示方法的应用场景。 ##### 3.1 多项式表示方法的应用场景 - **稠密表示的应用场景** - **系数大多非零的一元多项式**：当一元多项式的系数大多非零时，稠密表示可以充分利用其存储结构，避免额外的索引信息，使得计算和操作更加直接。例如，在一些简单的数值计算中，如多项式求值，如果多项式的系数分布比较均匀且非零系数较多，使用稠密表示可以减少存储和计算的复杂度。 - **系数多且分布均匀的多元多项式**：对于多元多项式，如果系数数量较多且分布均匀，稠密表示可以方便地进行各种代数运算，如加法、乘法等。在某些图像处理和信号处理的算法中，可能会遇到这样的多元多项式，使用稠密表示可以提高算法的执行效率。 - **稀疏表示的应用场景** - **系数大多为零的一元多项式**：当一元多项式中有大量系数为零时，稀疏表示可以显著减少存储空间。例如，在处理大规模的多项式插值问题时，很多情况下多项式的非零系数较少，使用稀疏表示可以避免存储大量的零系数，从而节省内存。 - **系数分布介于稠密和缺项之间的多元多项式**：对于多元多项式，如果系数既不是非常多且均匀分布，也不是非常少且分散，稀疏表示是一个不错的选择。在一些科学计算和工程应用中，可能会遇到这种类型的多项式，使用稀疏表示可以在存储和计算效率之间取得平衡。 - **缺项表示的应用场景** - **系数少且分散的多元多项式**：当多元多项式的系数较少且分散时，缺项表示可以更有效地存储和处理多项式。在一些优化问题和机器学习算法中，可能会遇到这种类型的多项式，使用缺项表示可以减少不必要的存储和计算开销。 ##### 3.2 算术电路类型的应用场景 - **乘法不相交电路的应用场景** - **需要并行计算的场景**：由于乘法不相交电路中各个子电路是不相交的，因此可以很方便地进行并行计算。在一些高性能计算和并行算法中，乘法不相交电路可以充分发挥并行计算的优势，提高计算效率。 - **弱不对称电路的应用场景** - **对电路结构有一定限制但又需要一定灵活性的场景**：弱不对称电路在保证一定的结构限制的同时，又具有一定的灵活性。在一些电路设计和优化问题中，可能需要满足某些特定的约束条件，同时又希望电路具有一定的可扩展性，弱不对称电路可以满足这些需求。 - **不对称电路的应用场景** - **对输入有特殊要求的场景**：不对称电路要求每个乘法门的至少一个参数是电路的输入，且该输入只发出一个箭头。在一些需要对输入进行特殊处理的场景中，如密码学和安全算法中，不对称电路可以提供更好的安全性和可控性。 - **公式的应用场景** - **需要清晰逻辑结构的场景**：公式是一种特殊的电路，其每个门的出度至多为 1，具有清晰的逻辑结构。在一些理论证明和逻辑推理中，公式可以更方便地进行分析和推导。 为了更直观地展示不同表示方法和电路类型的应用场景，下面用表格总结： | 表示方法/电路类型 | 应用场景 | | ---- | ---- | | 一元多项式稠密表示 | 系数大多非零的一元多项式，简单数值计算 | | 一元多项式稀疏表示 | 系数大多为零的一元多项式，大规模多项式插值问题 | | 多元多项式稠密表示 | 系数多且分布均匀的多元多项式，图像处理和信号处理算法 | | 多元多项式稀疏表示 | 系数分布介于稠密和缺项之间的多元多项式，科学计算和工程应用 | | 多元多项式缺项表示 | 系数少且分散的多元多项式，优化问题和机器学习算法 | | 乘法不相交电路 | 需要并行计算的场景，高性能计算和并行算法 | | 弱不对称电路 | 对电路结构有一定限制但又需要一定灵活性的场景，电路设计和优化问题 | | 不对称电路 | 对输入有特殊要求的场景，密码学和安全算法 | | 公式 | 需要清晰逻辑结构的场景，理论证明和逻辑推理 | 下面是根据不同场景选择多项式表示方法和算术电路类型的流程图： ```mermaid graph LR A[应用场景] --> B{多项式类型} B -- 一元多项式 --> C{系数情况} C -- 大多非零 --> D[一元多项式稠密表示] C -- 大多为零 --> E[一元多项式稀疏表示] B -- 多元多项式 --> F{系数分布情况} F -- 多且均匀 --> G[多元多项式稠密表示] F -- 介于两者之间 --> H[多元多项式稀疏表示] F -- 少且分散 --> I[多元多项式缺项表示] A --> J{计算需求} J -- 并行计算 --> K[乘法不相交电路] J -- 结构限制与灵活性 --> L[弱不对称电路] J -- 输入特殊要求 --> M[不对称电路] J -- 清晰逻辑结构 --> N[公式] ``` #### 4. 总结与展望 通过对多项式、行列式、图等基础概念以及多项式不同表示方法和算术电路类型的介绍，我们对这些数学工具在实际应用中的作用有了更深入的理解。在实际应用中，我们需要根据具体的问题和场景，选择合适的表示方法和电路类型，以提高计算效率和处理的便利性。 未来，随着科学技术的不断发展，这些数学工具在更多领域将发挥重要作用。例如，在人工智能和机器学习领域，多项式和算术电路可以用于构建更复杂的模型和算法；在量子计算领域，这些基础概念可能会有新的应用和拓展。我们期待这些数学工具在未来能够为解决更多复杂的问题提供有力的支持。 同时，我们也需要不断探索和研究新的表示方法和电路类型，以适应不断变化的应用需求。例如，如何设计更高效的多项式表示方法，如何优化算术电路的结构以提高计算性能等，都是值得深入研究的问题。相信在未来的研究中，我们将取得更多的成果，推动这些数学工具的发展和应用。