自适应耦合振荡器复杂网络中的同步模式研究

### 自适应耦合振荡器复杂网络中的同步模式研究 #### 1. 自适应神经网络中的频率聚类分析 在研究全局耦合且具有突触可塑性的神经元群体时，发现自适应神经网络能够自我生成不同频段的动态。每个频率簇对应一个具有固定频率的强连通分量。由于簇的大小和频率存在足够大的差异，簇间相互作用被抑制，而簇内相互作用得到增强。 - **现象解释**：这种簇的形成和稳定机制类似于多时间尺度系统中时间尺度的解耦，簇大小的显著差异对簇的解耦至关重要。 - **模型应用**：提出了一个二维现象学模型，该模型虽有推导近似，但与自适应霍奇金 - 赫胥黎网络吻合良好。通过该模型，找到了可塑性函数中能观察到稳定频率聚类的参数区域。 在大脑尺度上，也存在类似的聚类行为。同步的大脑区域群落构成的大型分布式功能网络会间歇性地形成和消散，这种聚类动态塑造了静息时大脑的自发活动。研究表明，考虑自适应突触时，基于同步神经活动调制的慢振荡可在单个神经群体层面形成，其机制依赖于持续放电神经元同步程度的波动，这些波动由神经群体分裂成簇以及相应的簇动态引起，可能有助于解释大脑的慢节律活动。 与其他产生慢振荡的机制不同，本研究中的慢振荡在不影响单个神经元放电的情况下，通过簇动态的慢调制使群体平均场振幅以较低频率振荡。此外，观察到的频率聚类在现象上类似于弱奇美拉状态，但形成机制不同，本研究的聚类本质上基于慢适应。 #### 2. 相位振荡器模型与多簇状态分析 采用简化的相位振荡器模型描述网络的慢自适应变化，该变化由时间尺度分离参数控制。在此框架下，提出了多簇状态的构建块分析方法。 - **单簇状态分析**：在全局耦合的自适应相位振荡器网络中，存在三种单簇状态（相对平衡态），即展开态、对映态和双对映态，它们是多簇状态的构建块。通过线性稳定性分析，发现展开态存在 N - 2 维的中性稳定方向，双对映态在整个参数范围内不稳定，表现为相空间中的鞍点。时间尺度分离对相对平衡态的稳定性有重要影响，不同时间尺度分离参数下的稳定区域不同。 - **多簇状态分析**：从随机初始条件出发，数值模拟得到展开型和对映型多簇状态，通过特定初始条件还发现了混合类型的多簇状态。展开型多簇状态具有环形空间结构，网络表现出（准）周期性的时空波特性，且其存在依赖于时间尺度分离，对于展开型两簇状态，耦合权重的适应速度至多为振荡器动态速度的一半。对映型多簇状态的分析更复杂，通过渐近展开得到了有界频率调制多簇状态的存在条件，并证明了混合多簇状态的存在。两簇状态的稳定性分析表明，相同大小的簇无法形成稳定的两簇状态。 #### 3. 非局部耦合环上的自适应相位振荡器模型 研究了非局部耦合环上自适应耦合的相同相位振荡器模型，观察到了单簇、多簇和孤立态等多种频率同步状态。 - **单簇状态定义与性质**：引入了基于连通诱导子网络的单簇状态新定义，能够更严格地区分多簇和孤立态。提出了复杂网络的局部展开态，证明了旋转波和对映态是相位锁定解，且局部展开簇总是全局展开簇，不同局部展开簇在非局部环结构上可具有不同的集体频率。 - **旋转波状态稳定性**：通过数值和解析方法研究旋转波状态的稳定性，两者结果吻合良好。根据解析结果，旋转波状态的稳定性取决于耦合范围 P 和波数 k，全局耦合（P = N/2）的极限情况与之前的研究结果一致。 - **孤立态分析**：孤立态在同宿分岔中产生，并可在周期轨道的叉形分岔中（去）稳定。通过推导二维有效模型，发现其分岔行为比具有惯性的仓