具有社区结构的空间多重网络模型解析

### 具有社区结构的空间多重网络模型解析 在网络研究领域，对局部攻击的研究一直是一个重要的课题。其中，一种被深入研究的模型是包含空间嵌入和社区结构的多重网络系统。 #### 社区结构概述 社区结构在许多网络中是一种常见的现象。在这种结构中，一组节点内部紧密相连，但与其他组的节点连接较弱。以基础设施系统为例，城市内部的基础设施连接紧密，但与城市外部的连接相对较弱，这就是社区结构的一种体现。 #### 模型构建 为了模拟这种情况，研究人员假设节点位于一个大小为 \(L × L\) 的正方形晶格的位置上，并且存在两组节点之间的连接。具体构建步骤如下： 1. **社区形成**：首先形成 \(m × m\) 的 Erdős 和 Rényi 网络（即社区），每个社区的大小为 \(\zeta × \zeta\)，其中 \(\zeta = L / m\)。这些 ER 类型的网络（社区）分布在正方形晶格上。 2. **连接规则**：一个社区内的节点只能连接到本社区内的节点以及相邻社区的节点。连接同一社区内节点对的被定义为内部连接（intralinks），而连接不同但相邻社区节点的则是外部连接（interlinks）。 3. **节点度数**：每个节点有外部连接度数 \(k_{inter}\) 和内部连接度数 \(k_{intra}\)，总节点度数 \(k_{total}=k_{inter}+k_{intra}\)。 4. **系统异质性**：系统的异质性由互连参数 \(\alpha = \frac{k_{inter}}{k_{total}}\) 定义。 这个新模型与之前所有链接都具有特征长度 \(\zeta\) 的模型类似，但由于社区结构的存在，增加了节点组之间的密集连接性，从而引入了异质性，而这种异质性由参数 \(\alpha\) 控制。 #### 局部攻击模拟 研究人员从分析和模拟两个方面，对该模型进行了局部攻击研究。具体做法是从网络中移除一个半径为 \(r_h\) 的圆形区域内的节点。根据网络系统参数的不同，存在一个临界半径 \(r_{h_c}\)： - 当攻击半径 \(r_h > r_{h_c}\) 时，损害会径向扩散，导致系统崩溃。 - 当攻击半径 \(r_h < r_{h_c}\) 时，系统保持弹性。 对于具有特定 \(\zeta\)、\(L\) 和 \(\langle k_{total} \rangle\) 值的网络，根据临界异质性水平 \(\alpha_c\) 可分为两种情况： |异质性情况|系统状态|攻